Trois points non alignés

ABC est un triangle rectangle en B tel que AB =13 et BC = 11.[br]FBDE est un carré de côté 6, avec F sur [AB] et D sur [BC].[br]Le point E appartient-il au segment [AC] ?[br][right][br]Exercices préférés pour la classe[br]Danielle Eynard[br]Bulletin APMEP n°519, mai 2016[/right]
Les points A, E et C ne sont pas alignés[br][br][i]10 démonstrations[/i][br][b][br]Géométrie analytique[/b] : la droite (AC) a pour équation y = 11/13 x.[br]Le point E' d'abscisse 7 de la droite a pour ordonnée 77/13 ≈ 5,9 ≠ 6.[br]Les coordonnées du point E ne vérifient pas l'équation de la droite (AC).[br][b][br]Droites non parallèles [/b]: les trois points A, E, C ne sont pas alignés car les deux droites (AE) et (AC) ne sont pas parallèles. Les coefficients directeurs 6/7 et 11/13 sont distincts.[br][br][b]Vecteurs[/b] : dans le repère d'origine A, les vecteurs [math]\vec{AC}[/math](13, 11) et [math]\vec{AE}[/math](7,6) ne sont pas colinéaires, car les produits 13 × 6 et 11 × 7 sont différents.[br][br][b]Barycentre[/b] : si le point E était un barycentre de A et C, un calcul avec la [url=http://debart.pagesperso-orange.fr/1s/barycentre.html#ch3e]fonction vectorielle de Leibniz[/url] à partir du point A montre qu'il existerait un nombre [i]k[/i] tel que [math]\vec{AE}[/math] = [i]k[/i] [math]\vec{AC}[/math].[br]Contradiction vue ci-dessus avec les vecteurs de coordonnées (13, 11) et (7, 6) qui ne sont pas colinéaires :[br]les équations 13 [i]k[/i] = 7 et 11 [i]k[/i] = 6 n'ont pas de solution car 7/13 et 6/11 sont distincts. . [br][b][br]Angles[br][/b][i]Angles inégaux[/i] : les trois points A, E, C ne sont pas alignés car les angles[br]BAE = 40,6° et BAC = 40,2° sont distincts.[br][i]Angle nul[/i] : l'angle CAE = 0,3° est n'est pas égal à 0.[br][i]Angle plat[/i] : l'angle AEC = 179° est différent de 180°.[br][br][b]Inégalité triangulaire[/b] : la somme AE + EC n'est pas égale à AC. [br]Avec GeoGebra, utiliser 3 décimales, et on trouve AE + EC = 17,03 distinct de AC = 17,029.[br][br][b]Thalès[/b] ; Les triangles ABC et AFE ne sont pas semblables : 6/7 est distinct de 11/13.[br][br][b]Homothétie[/b] : dans l'homothétie de centre A et de rapport 7/13, le triangle ABC a pour image AFE’ distinct du triangle AFE.[br][br][i]Il y aurait d'autres démonstrations[/i]...[br][br]Descartes et les Mathématiques - [url=http://debart.pagesperso-orange.fr/seconde/montrer_alignement.html#ch5]Montrer un alignement[/url]

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