切割圓面積

變數設定: [list] [*]n = 切割塊數 [*]t = 0 .. 1 (展開用參數) [*][math]\theta=\frac{\pi}{n}[/math] [*][math]s=2r\sin (\theta)[/math] [*][math]z=\cos(2t\theta)+i \sin(2t\theta)[/math] [/list] 極限展開曲線說明: 令: [list] [*][math]\frac{k}{n}=\tau[/math] [*][math]p(\tau)=s(z^1+z^2+z^3+\cdots+z^k)=s \cdot \frac{ z \left( 1-z^k \right)}{1-z}[/math] [/list] 則: [list] [*][math]p(\tau)=\frac{sz}{1-z} \cdot \left(1-z^{n\tau}\right)[/math] [*][math]p(\tau)=\frac{sz}{1-z} \cdot \left[1-\left(\cos(2t\theta\cdot n\tau)+i \sin(2t\theta \cdot n\tau)\right)\right][/math] [*][math]p(\tau)=\frac{sz}{1-z} \cdot \left[1-\left(\cos(2t\pi\cdot\tau)+i \sin(2t\pi\cdot\tau)\right)\right][/math] [/list] 其中: [list] [*][math]\frac{sz}{1-z}=\frac{2r\sin\theta\cdot\left[\cos(2t\theta)+i \sin(2t\theta)\right]}{1-\left[\cos(2t\theta)+i \sin(2t\theta)\right]} → 2r\cdot\frac{i}{2t}[/math],當 [math]n → ∞[/math] [/list] 因此: [list] [*][math]\lim_{n\rightarrow\infty} p(\tau) = \frac{r}{t} \left( \sin(2\pi t \tau) + i \left[ 1-\cos(2\pi t \tau) \right] \right)[/math] [/list] 極限的計算: [list] [*]請參考 [url=http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427esakqtje1us]WolframAlpha[/url] [/list] 結果這個展開曲線本身也是個圓弧,圓心在 [math]\left(0, \frac{r}{t} \right)[/math],半徑為 [math]\frac{r}{t}[/math]。

 

羅驥韡 (Pegasus Roe)

 
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