９。領域
１.不等式が表す領域
＜不等式は領域をさす＞
不等式は方程式で２分された、片方の領域を表す。
方程式ｆ（ｘ，ｙ）＝０は、座標平面を方程式を満たす点集合（図形）によって、２分する。
ｆ（ｘ，ｙ）＝０の否定はｆ（ｘ，ｙ）＞０か、f（ｘ，ｙ）＜０のどちらかである。
だから、不等式ｆ（ｘ，ｙ）＞０に対応する領域とｆ（ｘ、ｙ）＜０に対応する領域は別もの。
２つの領域の境界線が方程式ｆ（ｘ，ｙ）＝０である。
・方程式が直線・放物線のような閉じない曲線のときは、平面を上と下の２つの領域にわける。
・方程式が円のように閉じた曲線のときは、平面を中と外の２つの領域にわける。
（例）方程式が直線ｙ＝２ｘ＋３のとき、
ｙ＞ｘ＋３は直線の上側、ｙ＜ｘ＋３は直線の下側。
（例）方程式が放物線ｙ＝ｘ２＋３のとき、
ｙ＞ｘ２＋３は放物線の上側、ｙ＜ｘ２＋３は放物線の下側。
（例）方程式が円（ｘ−３）2＋y2=4のとき、
（ｘ−３）2＋y2＜4は円の内部、（ｘ−３）2＋y2＞4は円の外部。
２．領域の明確化と活用
＜領域の明確化＞
・連立不等式は２つの領域の共通部分が解になる。
境界線は＝を表す。入るかどうかは図で実線／点線で区別したり、
注釈をつける。
・式１×式２＞０⇔（式１＞０∧式２＞０）∨（式１＜０∧式２＜０）
だから、ともに正以外に、連立不等式の解それぞれを否定したものの共通部分も忘れない。
・式１×式２＜０⇔（式１＞０∧式２＜０）∨（式１＜０∧式２＞０）
だから、正負以外に、連立不等式の解それぞれを否定したものの共通部分も忘れない。
・３直線を使った領域では、共通領域が三角形になることもある。
＜領域の活用＞
・変数を複数の条件Fを満たす可能性のうち、ｇ（ｘ，ｙ）の最大・最小を求めるには、
条件Fを領域とする図形をかく。ｇ（ｘ，ｙ）＝ｋのグラフGをかく。
GとFに共有点が１個になるときが最大、最小になるとき。
グラフGの傾き一定ならば、ｙ切片を変化させる。
グラフGが定点通過ならば、傾きを変化させる。
（例）線形計画法
ある会社が製品A,Bを製造している。
製品A１単位の生産に、材料２単位と４時間人の労働、３時間機械稼働が必要。
A１単位は利益２万円。
製品B１単位の生産に、材料５単位と３時間人の労働、１時間機械稼働が必要。
B１単位の利益１万円。
材料、人の労働、機械稼働の総和の上限が３００単位、２４０時間、１５０時間のとき、
利益が最大になるときの製品A,Bの生産個数は？
A,Bをｘ個、ｙ個生産する制限は
（制限あ）２ｘ＋５ｙが３００以下、（制限い）４ｘ＋３ｙが２４０以下、
（制限う）３ｘ＋ｙが１５０以下。
（目的え）は２ｘ＋１ｙ＝ｋ（万円）の最大化。
直線の傾きは、あ、い、う、えの順に-2/5、-4/3,-3,-2だから、
傾き絶対値が大きい「う」の交点を求める。（ｘ，ｙ）＝（42,24）のときに、
えのｙ切片ｋが最大になる。2･42+1･24=108（万円）
・証明（A⇒B）問題で、領域Aが領域Bの部分集合であることを図示する。
★共通部分数が多いと色が濃くなる
★存在範囲を変換しよう
３．動点の領域
＜直線の通過領域＞
図形上にある２点を結ぶ直線が条件式に従って変化するとき、直線の動ける範囲は制限されるために、
通過領域が図形になることがある。
たとえば放物線ｙ＝ｘ2の上の２点A、Bのｘ座標がx(B)-x(A)=1となるとき、直線ABの通過範囲を考えよう。x(A)=a,x(B)=bとすると、b=a+1だから、直線の傾きは(b2-a2)/(b-a)=b+a=2a+1となるね。
ABの方程式はy=(2a+1)(x-a)+a2。aは条件を満たしているが図形上に存在するためには実数であることが必要だね。aの式にすると、a2+(1-2x)a+y-x=0でD=(1-2x)2-4(y-x)=4x2+1-4y>=0 y=<x2+1/4放物線の下側。
＜動点の存在範囲＞
点Pが図形の内部を動くときにその座標を２パラメータとして変換した点Qも連動して動き、別の図形ができる。座標変換の問題なので、P（ｘ，ｙ）、Q（X,Y)としたときの（x,y）をX,Yを使った式に表そう。
そのｘ，ｙをPのある図形の式に代入することで、X,Yの図形の式ができる。
（例）「点P(x,y)がｘ2+y2<=2にあるとき、Q(x+y,x-y)、R(x+y,xy)の存在範囲」はどんな図形？
Q(X,Y)=(x+y,x-y)とすると、P(x,y)=((X+Y)/2,(X-Y)/2)を代入する。(X+Y)2+(X-Y)2=2(X2+Y2)<=8
だから、点QはX2+Y2<=22（半径４で原点中心の円の内部）
R(X,Y)=(x+y,xy)とすると、X2-2Y=x2+y2+2xy-2xy=x2+y2<=2 だから、点RはY>=1/2X2-1（放物線の上側）