１６．指数・対数の利用
１．よく使う対数の底
＜対数で数値計算＞
底が１０の対数を常用対数といいます。計算の結果が表になっています。
（常用）対数表です。真数から対数がすぐに出せるのです。
昔は関数電卓とかプログラミング環境がなかったから、とても重宝されたでしょう。
対数という言葉は17世紀はじめにネイピアが使い、その後ブリッグズ、メルカトル、ニュートンらが平方根を大量に反復計算したり、無限級数（無限の数列和）などを使って平方根を計算したり、双曲線での積分を使うなどして、工夫し、苦労して計算されものが対数表だ。その後オイラーさんなどが級数展開という再表現をすることで、飛躍的に簡単に計算できるようになった。
（例）log101000=3, プログラミング言語などでは、 log10(1000)=3
（例）たとえば、10を何乗すると1230000とか、0.0123になるかを調べたいとしよう。
表の「1.2」の行で１つ下の位の「３」の列を見ると、0.0899とある。
こらから、log10(1.23)=0.0899とわかる。
・log10(1230000)=log10(1.23×106)=log10(1.23) +6log10(10)=0.0899+6=6.0899乗となる。
・log10(0.0123)=log10(1.23/102)=log10(1.23) -2log10(10)=0.0899-2=-1.9101乗となる。
（たしかめ）10 6.0899=12998.5... 、10 -1.9101=0.012299...
（例）log102=0.3010,log103=0.4771のとき、3020，2030はどちらが大きいか？
それぞれを真数とした対数を比べる。
log103020-log102030＞20×(0.4771+1)-30×(0.3010+1)=29.542-39.03<0から、真数の大小は逆順。
（例）「23=8,32=9,35=243,28=256を使って、log23を小数第1位まで求める」と？
log22=1, log24=2だから、log23=1.x 。
・log29=2 log23だから、log23=(log29)/2>(log28)/2=1.5
・log2243=log235=5 log23だから、log23=(log2243)/5<(log2256)/5=(log228)/5=8/5=1.6。
だから、1.5。
（例）大きい数のかけ算をするときに対数表の数で１０の指数におきかえてたし算する。
12.3×45600×31400000÷2.72
１より大きい数は１以上10未満の3桁数Mを使って、浮動小数点表示M×10Nにおきかえます。
log10(M×10N)=log10(M)+log10(10N)=log10M+N (Mは対数表にあるので、log10Mは転記するだけ。)
log10(1.23×101)=0.0899+1, ＋log10(4.56×104)=0.6590+4, ＋log10(3.14×107)=0.4969+7,
ーlog10(2.72)=ー(0.4346)。
1.0899+4.659+7.4969 -0.4346=12.8112乗（10の）が答えです。
1012.8112=1012×100.8112ですが、0.8112に対数表の中身から逆読みして、6.4の行の8の列と７列の間と推定できるので、およそ、
log10(6.475)=0.8112。つまり、100.8112=6.475と言い換えられる。
結局、1012.8112＝6.475×1010
と表の読み取りをしてたし算し、答えの小数部分を表の逆読みして
およその上３けたと数の大きさがわかる。
（たしかめ）Pythonの対話画面から。
>>> 12.3*45600*31400000/2.72
6474864705882.353
＜底がeの自然対数＞
オイラー数（ネイピア数）e=2.718281828459...を底にすると、(ex)の微分＝exのため、
微分積分などの数式計算が簡単になります。
そのため、常用対数は数値計算向きでしたが、自然対数は数式計算でよく使われます。
また、eiπ=-1のオイラー等式のように、eは関数や数をつなぐときに登場します。
底がeの指数関数y=exをy=EXP（x)とかくことが多い。
底がeの対数関数y=logexをy=LN(x)＝Log(x)とかくことが多く、自然対数といいます。
（例）pythoの対話画面から
>>> import math
>>> math.exp(1)
2.718281828459045
>>> math.e
2.718281828459045
★対数で、かけ算をたし算にして計算しよう
２．整数のけた数と小数の位と数字
＜整数のけた数の実験＞
log101000=3、log1010000=4。,log102000=3.30..,log109876=3.99..
y=log10xは単調増加なので、ｘが1000以上10000未満、
つまり真数ｘが４けたならｙは３以上４未満。
このとき、どの真数ｘもｘ＝M×103（ｘは１以上10未満）と浮動小数点表示ができる。
（覚え方）1000は０が３個あるけど、桁数は４けた。
1000を原型として、１を１〜9.999...と変化させたものが４けた数。
＜一般化＞
log1010N=N,log1010N+1=N+1
y=log10xは単調増加なので、ｘが10N以上10(N+1)未満、
つまり真数ｘがN+1けたならｙはN以上N+1未満。
このとき、どの真数ｘもｘ＝M×10Nと（ｘは１以上10未満）と浮動小数点表示ができる。
1より大きい真数Xについて、N-1以上（log10X）N未満なら、
XはN桁である。
（覚え方）10Nは０がN個あるけど、１がその上の位だから、
桁数はN+1けた。これを原型として、１〜10未満倍しても同桁数。
（例）「log102=0.3010,log103=0.4771のとき、６の100乗のけた数」は？
log106100=100×(log102+log103)=77.811<78。78けた。
（例）「log102=0.3010,log103=0.4771のとき、３の2013乗のけた数、最上位の数」は？
３の2013乗＝M×10N（Mが1以上10未満）と再表現できたなら、
けた数はN+1、最上位の数はMの整数部分です。
log1032013=2013×log103=960.4023...は960以上961未満。だからN＝960。
２の2013乗は、N+1=961けた。
M=32013/10960とすると、log10M=960.4023 - 960=0.4023。
Mの対数log10M=0.4023がlog102=0.3010とlog103=0.4771の間だから、
真数Mも間にあり、２と３の間。
だからMの整数部分は２となり、３の2013乗の最上位の数は２。
（例）「log102=0.3010、log103=0.4771。15の25乗のけた数、最上位の数」は？
15の25乗＝M×10N（Mが1以上10未満）と再表現できたなら、
けた数はN+1、最上位の数はMの整数部分です。
15=3･10/2でlogを分解すればよい。
log101525=25×log10(3･10/2)=25×(0.4771＋1-0.3010)=29.4025=2.94..×101
けた数は1+1=2。最上位は2.94の整数部分の2
＜１より小さい小数の０以外初登場位の実験＞
０以外の数字が初めて登場する位を０以外初登場位と呼ぶことにする。
log100.001=-3、log100.0001=-4、log100.00012=-3.92..、log100.000797=-3.09..
ｘが0.0001以上0.001未満、
つまり真数ｘの０以外初登場位数が４位ならｙは-4以上-3未満。
このとき、どの真数ｘもｘ＝M×10-4（ｘは１以上10未満）と浮動小数点表示ができる。
＜一般化＞
log1010-N+1=-N+1, log1010-N=-N、ｘが10-N+1以上10N未満、
つまり真数ｘの０以外初登場位数がN位ならｙは-N以上-N+1未満。
このとき、どの真数ｘもｘ＝M×10-Nと（ｘは１以上10未満）と浮動小数点表示ができる。
逆に
１より小さい真数Xについて、-N以上（log10X）-N+1未満なら、
Xの０以外初登場位がN位になる。
（覚え方）10-Nは小数点第N位で初めて１が登場する。
これを原型として、１〜10未満倍しても同位置に０以外が登場する。
（例）log102=0.3010,log103=0.4771のとき、0.2の50乗の0以外の初登場位は？
log10(0.2)50=50(log102-log1010)=-34.95>-35から小数第35位★巨大数のけた数を対数でさぐろう
３．対数の科学利用
＜対数メモリ＞
通常のグラフのメモリは等差数列で１メモリの幅が一定です。
対数目盛は、等比数列になっているので、１メモリの幅が倍々になります。
量の単位も１ずつふえたら、同量増えていると思いがちです。
しかし、グラフ表示のレベルではなく、
量の定義自体が指数関数的な増え方を前提にしているものもあるので注意したい。
＜地震の規模マグニチュード（M）＞
地震が発するエネルギーの大きさを E（単位：ジュール）、マグニチュードを M とすると、
log10E=4.8+1.5M
という関係がある。
つまり、10E=104.8×10(1.5M).
Mの増分をmとすると、104.8×101.5M+1.5m
=10E×101.5m
と、指数のEが1.5m増える。
だから、Mが１増えると、10Eは10の1.5乗倍つまり、32倍になる。
Mが２増えると、10Eは10の1.5×2＝3乗倍、つまり1000倍になる。
ということは、M5,M6,M7,M8の地震はMが１増えているため、
１つずつ32倍のエネルギーを発する。
１つおきでは1000倍のエネルギーを発する地震ということだ。
だから、M8はM5の316273倍のエネルギーを発する。
また、マグニチュードが0.2増えただけで、1.5×0.2=0.3から、10の0.3乗倍のエネルギーを発する。
log10(2)=0.3010を思い出すと、発するエネルギーは約2倍ということだね。
| M | 例 | 日本で頻度/年 |
| 9.0以上 | 超巨大地震（東日本大震災2011） | 0.003回 |
| 8.0-8.9 | 巨大地震（関東大震災1923） | 0.1回 |
| 7.0-7.9 | 大地震（能登半島地震2024） | 2回 |
| 6.0-6.9 | 中地震（新潟県中越地震2004） | 15回 |
| 5.0-5.9 | 中地震 | 130回 |