Príklad:
Kružnice k1 (O1;5cm),k2 (O2;3cm) sa pretínajú v dvoch bodoch. Označte C jeden z týchto priesečníkov. Zostrojte všetky rovnoramenné trojuholníky ABC so základňou AB tak, aby platilo A∈k1 ∧ B∈k2 ∧ |∠ACB|=120°
Rozbor:
V rovnoramennom trojuholníku ABC so základňou AB sú obe ramená zhodné, preto medzi bodmi A, B existuje otočenie so stredom v bode C o uhol ±120°. V tomto otočení je obrazom bodu A bod B, obrazom kružnice k1 je kružnica k1‘. Ak bod A leží na kružnici k1, musí jeho obraz B ležať na kružnici k1‘. Lenže bod B má podľa zadania taktiež ležať na kružnici k2, čiže musí patriť prieniku kružníc k2 a k1‘. Ak máme zostrojené body B,C trojuholníka ABC, zostrojíme bod A tak, aby spĺňal zadané podmienky (využitím otočenia alebo vlastností rovnoramenného trojuholníka).
Postup konštrukcie:
1. Zostrojte kružnice k_1 (O_1;5cm),k_2 (O_2;3cm), ktoré sa pretínajú v dvoch bodoch.
2. Označte C jeden z priesečníkov kružníc k1 a k2 .
3. V otočení so stredom v bode C o uhol ±120° zostrojte obraz k1‘ kružnice k1.
4. Prienik kružníc k2 a k1‘ je bod B.
5. V otočení so stredom v bode C o uhol ∓120° zostrojte obraz A bodu B.
6. Zostrojte trojuholník ABC.
Skúška:
Overíme polohu bodov A, B podľa zadania. Ďalej overíme, že skonštruovaný trojuholník ABC je rovnoramenný a uhol pri vrchole C má veľkosť 120°.
Diskusia:
Počet riešení závisí od prieniku kružnice k2 s obrazmi kružnice k1. Bod C je spoločným bodom kružníc k1, k2, k1‘, k1“.Úloha môže mať:
2 riešenia, ak každá z kružníc k1‘, k1“ má s kružnicou k2 ešte ďalší spoločný bod okrem bodu C,
1 riešenie, ak niektorá z kružníc k1‘, k1“ má s kružnicou k2 spoločný bod iba C.
