Príklad:
Daný je bod P a priamka p, ktorá ním prechádza; bod O, ktorý neleží na priamke p a kružnica k so stredom v bode O a polomerom r. Ďalej je daný bod M, ktorý neleží na priamke p ani na kružnici k. Zostrojte všetky štvorce ABCD tak, aby platilo B∈k,D∈p,A=M.
Rozbor:
Štvorec ABCD, v ktorom poznáme jeho vrchol A, vieme zostrojiť, ak nájdeme ďalší jeho vrchol.
Keďže vnútorné uhly štvorca sú pravé, tak bod D je obrazom bodu B v otočení so stredom M o uhol 90° (resp. +90°, -90°). Ak bod B leží na kružnici k, tak jeho obraz D bude ležať na obraze k‘ kružnice k v otočení so stredom M o uhol 90° (resp. +90°, -90°). Teda bod D musí ležať na priamke p a zároveň na kružnici k‘.
Úlohu môžeme riešiť aj zostrojením obrazu p‘ priamky p, vtedy nájdeme bod B ako prienik kružnice k a priamky p‘.
Postup konštrukcie:
1. Zostrojte bod P a priamku p, ktorá ním prechádza; bod O, ktorý neleží na priamke p. Zostrojte kružnicu k so stredom v bode O a polomerom r. Ďalej zvoľte bod M tak, aby neležal na priamke p ani na kružnici k.
2. Zostrojte obraz k‘ kružnice k v otočení so stredom M o uhol +90° aj o uhol -90°.
3. Bod D je prienikom priamky p a kružnice k‘.
4. Zostrojte obraz B bodu D v otočení so stredom M o uhol -90° aj o uhol +90°.
5. Bod A je totožný s bodom M.
6. Trojicu bodov A, B, D doplňte bodom C tak, aby útvar ABCD bol štvorec (využite kolmosť a rozpoľovanie uhlopriečok štvorca).
Skúška:
Vyplýva z rozboru a postupu konštrukcie. Overíme polohové vlastnosti bodov B, D a meraním overíme, že zostrojený útvar ABCD je štvorec.
Diskusia:
Počet riešení závisí od prieniku priamky p a kružníc k1‘ a k2‘. Úloha môže mať:
• 0 riešení, ak priamka p a kružnice k1‘ a k2‘. nemajú spoločný bod;
• 1 riešenie, ak priamka p má spoločný práve 1 bod s niektorou z kružníc k1‘ a k2‘ (je dotyčnicou jednej z nich) ;
• 2 riešenia, ak priamka p a kružnice k1‘ a k2‘ majú spoločné práve 2 body (buď je priamka p dotyčnicou ku každej kružnici alebo je sečnicou jednej a nesečnicou druhej);
• 3 riešenia, ak priamka p a kružnice k1‘ a k2‘ majú spoločné práve 3 body (priamka p dotyčnicou k jednej kružnici a sečnicou druhej);
• 4 riešenia, ak priamka p a kružnice k1‘ a k2‘ majú spoločné práve 4 body (priamka p sečnicou oboch kružníc).
