Príklad:
Zostrojte všetky trojuholníky ABC (dĺžky sú uvedené v cm), ak a+b+c=12, α=45°,β=75°.
Rozbor:
Ak zostrojíme trojuholník KLC, bude konštrukcia bodov A,B vyplývať z rovnoramennosti trojuholníkov KCA, LCB. Odvodíme preto veľkosti uhlov pri vrcholoch K,L v trojuholníku KLC:
Keďže trojuholník KCA je rovnoramenný so základňou KC, |∠ KAC|=180°-α a uhly pri základni KC musia byť zhodné, odvodíme:
|∠ LKC|=|∠ AKC|=[180°-(180°-α)]/2=α/2.
Analogicky, trojuholník LCB je rovnoramenný so základňou LC, |∠LBC|=180°-β a uhly pri základni LC musia byť zhodné, podobne odvodíme:
|∠ KLC|=|∠ BLC|=[180°-(180°-β)]/2=β/2.
Konštrukcia bodov A,B: Z rovnoramennosti trojuholníkov KCA a LCB vyplýva, že os základne trojuholníka KCA prechádza jeho temenom, čiže bodom A a os základne trojuholníka LCB prechádza jeho temenom, čiže bodom B. Tieto vlastnosti nám umožnia zostrojenie bodov A, B (ležia na úsečke KL).
Postup konštrukcie:
1. Zostrojte úsečku KL s dĺžkou a+b+c=12cm.
2. Zostrojte uhol XKL s veľkosťou α/2=22,5°.
3. Zostrojte uhol YLK s veľkosťou β/2=37,5°.
4. Bod C je prienikom polpriamky KX a polpriamky LY.
5. Zostrojte os o1 úsečky KC.
6. Zostrojte os o2 úsečky LC.
7. Bod A je prienikom priamky o1 a úsečky KL.
8. Bod B je prienikom priamky o2 a úsečky KL.
9. Zostrojte trojuholník ABC.
Skúška:
Vyplýva z rozboru a postupu konštrukcie. Overíme zadané metrické vlastnosti zostrojeného trojuholníka.
Diskusia:
Existencia riešenia vyplýva z existencie trojuholníka KLC. Úloha má pre dané hodnoty 1 riešenie vo zvolenej polrovine.
