Príklad:
Daný je bod P a priamka p, ktorá ním prechádza; bod O, ktorý neleží na priamke p a kružnica k so stredom v bode O a polomerom r. Ďalej je daný bod M, ktorý neleží na priamke p ani na kružnici k. Zostrojte všetky rovnoramenné trojuholníky ABC so základňou AB tak, aby platilo B∈k, A∈p, vc⊂↔PM, C=M.
Rozbor:
Rovnoramenný trojuholník ABC so známym temenom C a s požadovanými vlastnosťami vieme zostrojiť, ak nájdeme jeden z jeho vrcholov A,B.
Ak výška vc (z bodu C na stranu AB) tohto rovnoramenného trojuholníka leží na priamke PM, tak hľadané body A, B sú osovo súmerné podľa tejto priamky. Ak bod B leží na kružnici k, tak jeho obraz A bude ležať na obraze k‘ kružnice k v osovej súmernosti podľa priamky PM. Teda bod A musí ležať na kružnici k‘ a zároveň na priamke p.
Úlohu môžeme riešiť aj zostrojením obrazu p‘ priamky p, vtedy nájdeme bod B ako prienik priamky p‘ a kružnice k.
Postup konštrukcie:
1. Dané sú bod P, priamka p, bod O, kružnica k, bod M.
2. Zostrojte kružnicu k‘, ktorá je obrazom kružnice k v osovej súmernosti podľa priamky PM.
3. Bod A je prienikom priamky p a kružnice k‘.
4. Zostrojte bod B, ktorý je obrazom bodu A v osovej súmernosti podľa priamky PM.
5. Bod C je totožný s bodom M.
6. Zostrojte rovnoramenný trojuholník ABC.
Skúška: Vyplýva z rozboru a postupu konštrukcie. Overíme vlastnosti zostrojených útvarov: body A, B ležia na požadovaných útvaroch a útvar ABC je rovnoramenný trojuholník so základňou AB.
Diskusia: Počet riešení závisí od prieniku priamky p a kružnice k‘. Úloha môže mať:
• 0 riešení, ak priamka p a kružnica k‘ nemajú spoločný bod;
• 1 riešenie, ak priamka p a kružnica k‘ majú spoločný práve 1 bod;
• 2 riešenia, ak priamka p a kružnica k‘ majú spoločné práve 2 body.
