Due esercizi commerciali sono posti alla distanza d. A ciascun esercizio è associato un parametro che ne misura il livello di attrattività, quanto cioè quel locale risulta amabile per un certo utente.
Supponendo che i clienti accedano agli esercizi in funzione direttamente proporzionale alla loro attrattività e inversamente proporzionale alla loro distanza si vuole determinare il potenziale bacino di utenza di ciascun esercizio.
Indichiamo con A il primo esercizio commerciale e con Fa (valore positivo) la sua attrattività; denotiamo con B il secondo esercizio e con Fb la relativa attrattività (anche questa positiva).
Per determinare il bacino d'utenza dei due esercizi commerciali dobbiamo confrontare le quantità kFa/dAC e kFb/dBC, dove k è un opportuno coefficiente di proporzionalità positivo, C rappresenta un generico cliente e dXY la distanza di X da Y.
Scegliamo un sistema di riferimento con origine nel centro commerciale A ed asse positivo delle ascisse passante per B.
Poniamo c = Fb/Fa, il che equivale ad assumere come unità di misura dell'attrattività il valore Fa, in altre parole prendiamo l'attrattività di A pari ad 1 e quella di B pari a c.
I potenziali clienti che si trovano in posizione di indifferenza, sono i clienti in C=(x, y) tali che:
k / dAC = k c / dBC
Semplificando, sostituendo i valori in funzione delle coordinate e svolgendo i calcoli, si ha
dBC = c dAC
d2BC = c2 d2AC
(x - d)2 + y2 = c2 x2 + c2 y2
x2 - 2 d x + d2 + y2 - c2 x2 - c2 y2 = 0
(1 - c2) x2 + (1 - c2) y2 - 2 d x = -d2 [1]
Se c != 1, ovvero se i due esercizi hanno differenti attrattività (si noti che c > 0, quindi c non può assumere il valore -1) possiamo scrivere:
x2 + y2 - 2 d x / (1 - c2) = -d2 / (1 - c2)
[x -d / (1 - c2)]2 + y2 = -d2 / (1 - c2) + d2 / (1 - c2)2
[x -d / (1 - c2)]2 + y2 = d2 c2 / (1 - c2)2
La precedente, nel piano xOy, è una circonferenza di centro (d/(1-c^2 ),0) e raggio dc/(|1-c^2 |).
Analizziamo la circonferenza descritta dall'equazione precedente al variare del parametro c, ovvero determiniamo il bacino d'utenza in funzione del rapporto fra le attrattività.
