Die Mathematik hinter Siegwahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Kurzinformation
- Thema: Berechnung von Siegwahrscheinlichkeiten und Quoten
- 12. Schulstufe, Mathematik
- Dauer: 2-3 Unterrichtseinheiten
- Materialien: SchülerInnenmaterial zum Ausdrucken (inkl. Lösungen) (Dokument downloaden)
- Spezielle Materialien: Würfel
Vorwissen und Voraussetzungen
Die Schülerinnen und Schüler...
- können Bruch- und Prozentrechnen
- kennen das Bernoulli-Experiment mit der Berechnung der Binomialverteilung
- kennen das Baumdiagramm mit seinen Pfadregeln
- können mit technischen Hilfsmitteln (GeoGebra, Excel,..) Statistiken erstellen
Lernergebnisse und Kompetenzen
Die Schülerinnen und Schüler...
- wiederholen den Begriff der Wahrscheinlichkeit, das Bernoulli-Experiment und die Binomialverteilung und können diese anwenden (anhand von Siegwahrscheinlichkeiten und Quoten)
- können gewinnbereinigte Wahrscheinlichkeiten aus Quoten berechnen
- können ein Modell zur Berechnung von Siegwahrscheinlichkeiten und Quoten erstellen
- können mit GeoGebra oder Excel Tabellen erstellen.
Unterrichtsablauf
Die Unterrichtseinheiten dienen zur Wiederholung der Wahrscheinlichkeitsrechnung und zur Einführung in die Berechnung von Siegwahrscheinlichkeiten und Quoten. Die Schülerinnen und Schüler sollen anhand eines Würfelspiels (=Zufallsexperiment) auf die Siegwahrscheinlichkeiten aus der durchschnittlichen Toranzahl pro Spiel kommen und eine Formel dafür entwickeln.
Es sollen Tabellen erstellt werden, wo Gewinnwahrscheinlichkeiten anhand unterschiedlicher Faktoren berechnet werden. Abschließend wird anhand von learningsnacks.de das Wissen über Siegwahrscheinlichkeiten wiederholt und der Begriff Quoten wird eingeführt.
Aktivität 1: (50min)
Das folgende Zufallsexperiment ist von fußballmathe.de
Vorbereitung:
Die Schülerinnen und Schüler werden in Gruppen von je 2 Personen eingeteilt. Jede Gruppe benötigt einen Würfel, Stift und die Anleitung für das Zufallsexperiment. Anschließend benötigen sie die Anleitung zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten und das Aufzeichnungsblatt.
Es wird versucht, anhand der Spielanleitung ein Zufallsexperiment durchzuführen und eine Berechnungsmethode zur Berechnung von Siegwahrscheinlichkeiten aufzustellen. Die Spielanleitung wird gemeinsam durchgelesen und besprochen, gibt es keine Fragen mehr, so starten die Schülerinnen und Schüler in den jeweiligen Gruppen mit dem Zufallsexperiment.
Nach dem sie das Spiel durchgespielt haben, sollen sie mit Hilfe des Aufzeichnungsblattes eine bekannte Formel zur Berechnung der Ergebnisse für ein Unentschieden aufstellen und die möglichen Ergebnisse (0:0, 1:1, 2:2, etc.) berechnen. In den letzten 10 Minuten werden die Ergebnisse im Plenum besprochen.
Didaktischer Kommentar:
Zu Beginn ist das Spiel für die Schülerinnen und Schüler noch ganz Selbstzweck und sie ermitteln ein Spielergebnis. Anschließend sollen sie sich mit Hilfe des Aufzeichnungsblattes die Frage stellen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für ein Unentschieden ist. Dafür gibt es mehrere mögliche Ausgänge, 0:0, 1:1,..., 10:10 (10=durchschnittliche Torschüsse einer Mannschaft pro Spiel). Schlussendlich sollen die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass für die Berechnung die Binomialverteilung benötigt wird.
Anleitung Zufallsexperiment
Anleitung zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten
Aufzeichnungsblatt
Lösungsblatt
Aktivität 2: (50min)
Zu Beginn der Einheit wird die letzte Stunde reflektiert und die Schülerinnen und Schüler sollen in einer Diskussion darauf hingeführt werden, dass Mannschaften unterschiedlich stark sind und es daher eine größere oder geringer Wahrscheinlichkeit für ein Tor einer Mannschaft gibt.
Daraufhin sollen die Schülerinnen und Schüler paarweise (abhängig von der Leistungsstärke der Klasse) oder gemeinsam mit der Lehrperson eine Tabelle in GeoGebra oder Excel erstellen, wo die Wahrscheinlichkeiten für alle Unentschieden berechnet werden. Weiters soll auch die Wahrscheinlichkeit für ein Tor einer Mannschaft verändert werden können.
Vorlage Tabelle - Wahrscheinlichkeiten k Treffer zu erzielen, sowie ein k:k erzielen
Anschließend wird die Tabelle im Plenum besprochen und aufgezeigt wie sich die Wahrscheinlichkeiten für ein Unentschieden verändern, wenn Mannschaften nicht mehr gleich stark sind.
Zum Abschluss wird noch die Matrix der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnissen besprochen. Zum Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg von Mannschaft A, wenn die Mannschaften unterschiedlich stark sind. Dies kann anhand der Tabelle eingestellt und ermittelt werden. Falls noch Zeit bleibt können die Schülerinnen und Schüler probieren, diese selbst zu erstellen.
Didaktischer Kommentar:
Die Schülerinnen und Schüler sollen Zusammenhänge erkennen, wie sich aufgrund der Wahrscheinlichkeit für ein Tor einer Mannschaft, die Wahrscheinlichkeit für die Endergebnisse ändern. Sie können daraus folgern, dass stärkere Mannschaften eine höhere Gewinnwahrscheinlichkeit haben als schwächere, aber eine Niederlage trotzdem nicht ausgeschlossen werden kann. Sie erkennen wie sich die Siegwahrscheinlichkeit für einen Sieg, ein Unentschieden und eine Niederlage aus den einzelnen Teilergebnissen berechnen lässt.
Aktivität 3: (30min)
Vorbereitung:
Die Schülerinnen und Schüler benötigen ein Handy, Tablet oder Computer. In den vorangegangenen Unterrichtsstunden haben wir Siegwahrscheinlichkeiten berechnet. Nun wollen wir aus diesen Wahrscheinlichkeiten die Quoten bestimmen.
Dies kann zu Beginn der dritten Unterrichtseinheit durchgeführt werden oder als Hausübung.
Dazu verwenden die Schülerinnen und Schüler die learningApp learningsnacks mit der Aufgabe "Quoten". Zu Beginn schauen sich die Schülerinnen und Schüler ein Video über Quoten an um die Basics dazu zu erlernen. Anschließend werden den Schülerinnen und Schülern kleine Lernhäppchen in Form von Text, Bildern, etc. zur Verfügung gestellt und durch die anschließende Frage wird das Wissen überprüft. Ist die Antwort korrekt, kommt man zur nächsten Frage oder zum nächsten Lernhäppchen.
Didaktischer Kommentar:
Durch dieses Frage-Antwort-Spiel als eine Art "Chat-Format" können die Schülerinnen und Schüler ihr Wissen spielerisch überprüfen bzw. Neues dazulernen. Um zum nächsten "Lernhäppchen" zu gelangen, muss die Frage zuvor richtig beantwortet werden und es wird somit direkt überprüft, ob neue Informationen verstanden wurden.
Links zu Materialien und Quellen
Quoten - Learningsnacks
