Junio 2001 Valencia B.1

 Se da la matriz:  donde m es un parámetro real: a) Obtener razonadamente el rango o característica de la matriz en función de los valores de (5 puntos) b) Explicar por qué es invertible la matriz cuando . (2 puntos) c) Obtener razonadamente la matriz inversa cuando , indicando los distintos pasos para la obtención de . Comprobar que los productos y dan la matriz unidad. (3 puntos)

¿Qué tiene que ocurrir para que la matriz A tenga rango 3?

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Al resolver el determinante deberías haber obtenido un polinomio en Según el valor que tome el determinante puede ser igual a cero o distinto de cero. Cuando sea distinto de cero el rango de la matriz será 3. Resuelve la ecuación para encontrar esos valores. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación?

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¿Cuáles son las soluciones?

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Contesta al apartado B en el espacio destinado a ello: b) Explicar por qué es invertible la matriz cuando . (2 puntos)

Cuando la matriz queda de esta forma:  Nos piden calcular la matriz inversa, que como hemos estudiado se calcula así: 

Empezaremos por calcular el determinante de A.

Como sabes, la matriz adjunta de la traspuesta y la traspuesta de la adjunta son la misma matriz. Dado que el orden no importa te proponemos calcular primero la matriz adjunta de :
Ya sólo queda rematar la faena. Nos falta el último paso para tener la matriz inversa. Calcúlala y comprueba tu respuesta.
Ya sólo nos qureda comprobar que los productos y dan la matriz unidad. Haz la comprobación en papel.