Füllkurve einer Kugel

Problemstellung In einen kugelförmigen Behälter wird Wasser mit einer konstanten Zuflussmenge c pro Zeiteinheit eingefüllt. Die Kugel hat den Radius R. Berechne, wie sich die Füllhöhe h im Lauf der Zeit t ändert. Lösung Das eingefüllte Wasser hat die Form einer Kugelkappe (Kugelsegment, Kugelkalotte) mit Radius R und Höhe h. Ihr Volumen kann folgendermaßen berechnet werden: Die Änderungsrate des Volumens ist konstant und entspricht der Zuflussmenge c pro Zeiteinheit: Für die Höhe h in Abhängigkeit von der Zeit t ergibt sich also folgende Differentialgleichung: Diese Differentialgleichung kann durch Trennung der Variablen gelöst werden. Die Höhe h wird mit dieser impliziten Funktionsgleichung festgelegt. Aufgabe Verändere die Werte für den Radius R oder die Zuflussmenge c pro Zeiteinheit. Wie lange braucht es, um den Kugel mit R = 1,5 und c = 3 zu füllen? Wie lange dauert es, bis der Kugel gefüllt ist, wenn der Radius R verdoppelt wird? Begründe deine Antwort im Detail.
Andreas Lindner