Füllkurve einer Kugel
- Autor:
- Andreas Lindner
Problemstellung
In einen kugelförmigen Behälter wird Wasser mit einer konstanten Zuflussmenge c pro Zeiteinheit eingefüllt. Die Kugel hat den Radius R. Berechne, wie sich die Füllhöhe h im Lauf der Zeit t ändert.
Lösung
Das eingefüllte Wasser hat die Form einer Kugelkappe (Kugelsegment, Kugelkalotte) mit Radius R und Höhe h.
Ihr Volumen kann folgendermaßen berechnet werden:
Wenn die Zuflussmenge konstant ist, ergibt sich
Die Höhe h wird mit dieser impliziten Funktionsgleichung festgelegt.
Aufgabe
Verändere die Werte für den Radius R oder die Zuflussmenge c pro Zeiteinheit.
Wie lange braucht es, um den Kugel mit R = 1,5 und c = 3 zu füllen?
Wie lange dauert es, bis der Kugel gefüllt ist, wenn der Radius R verdoppelt wird? Begründe deine Antwort im Detail.
Zur Form der Füllkurve
Die durch die implizite Form gegebene Füllkurve für die Höhe h in Abhängigkeit von der Zeit t besitzt am Anfang und am Ende eine vertikal verlaufende Tangente.
Ist die Kugel gerade bis zur Hälfte gefüllt, verläuft die Zunahme der Höhe h wie bei einem Zylinder mit dem Radius R.
Dies kann man erkennen, wenn man die Gleichung der Füllkurve implizit nach t ableitet:
Für und ergibt sich , also eine senkrechte Tangente.
Für die Änderungsrate der Höhe in der Mitte der Kugel, also für , folgt: .
Diese Änderungsrate entspricht genau der Änderungsrate der Höhe beim Befüllen eines Zylinders mit dem Radius R.
Dies sieht man, weil aus dem Volumen eines Zylinders die Änderungsrate mit als folgt.