Integrales sobre curvas.
Definición.
La integral de línea de con respecto a la longitud del arco a lo largo de la curva orientada
en el espacio tridimensional, escrito , está definida por
siempre que el límite exista y sea el mismo para todas las opciones de puntos de evaluación.
Teorema.
Suponga que es continua en una región que contiene la curva y que se describe paramétricamente por , para , donde , y tienen primeras derivadas continuas. Entonces,
Suponga que es continua en una región que contiene la curva y que es descrito paramétricamente por , para , donde e tienen primeras derivadas continuas. Entonces
1.-, es el segmento de línea de a .
Entonces, tenemos la ecuación del segmento de línea que conecta los puntos (1, 2) y (3, 5) es:
Entonces, calculamos la pendiente(m):
Ahora, utilizando la ecuación de la recta:
se puede expresar la curva C como, en este caso tomamos a x(t) como valor libre y a y(t) en términos de x:
donde t varía de 1 a 3.
Ahora, calculamos la longitud de arco de la curva C:
Por lo tanto, la integral de línea se puede calcular como:
Por lo tanto, la solución de la integral de línea .
5.-, es el cuarto de círculo de (2, 0) a (0, 2).
La ecuación del cuarto de círculo se puede parametrizar como:
donde t va desde 0 hasta π/2.
Entonces, la longitud de arco de la curva C se puede calcular como:
Por lo tanto, la integral de línea se puede calcular como:
Por lo tanto, la solución de la integral de línea es 12.
9.-, C es el segmento de línea de (0, 0) a (1, 0), seguido por el cuarto de círculo a (0, 1).
Para el primer segmento de línea de (0, 0) a (1, 0), la ecuación paramétrica es:
, ,
Entonces, las ecuaciones paramétricas queda de la sig. manera:
donde t varía de 0 a 1.
La longitud de arco de este segmento es:
Ahora, para el segundo segmento, el círculo (1, 0) a (0, 1), la ecuación paramétrica es:
donde t varía de 0 a π/2.
La longitud de arco de este segmento es:
Por lo tanto, la integral de línea se puede dividir en dos integrales:
Por lo tanto, la solución de la integral de línea es .