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Integrales sobre curvas.

Definición.

La integral de línea de con respecto a la longitud del arco a lo largo de la curva orientada en el espacio tridimensional, escrito , está definida por siempre que el límite exista y sea el mismo para todas las opciones de puntos de evaluación.

Teorema.

Suponga que es continua en una región que contiene la curva y que se describe paramétricamente por , para , donde , y tienen primeras derivadas continuas. Entonces, Suponga que es continua en una región que contiene la curva y que es descrito paramétricamente por , para , donde e tienen primeras derivadas continuas. Entonces
1.-, es el segmento de línea de a . Entonces, tenemos la ecuación del segmento de línea que conecta los puntos (1, 2) y (3, 5) es: Entonces, calculamos la pendiente(m): Ahora, utilizando la ecuación de la recta: se puede expresar la curva C como, en este caso tomamos a x(t) como valor libre y a y(t) en términos de x: donde t varía de 1 a 3. Ahora, calculamos la longitud de arco de la curva C: Por lo tanto, la integral de línea se puede calcular como: Por lo tanto, la solución de la integral de línea .
5.-, es el cuarto de círculo de (2, 0) a (0, 2). La ecuación del cuarto de círculo se puede parametrizar como: donde t va desde 0 hasta π/2. Entonces, la longitud de arco de la curva C se puede calcular como: Por lo tanto, la integral de línea se puede calcular como: Por lo tanto, la solución de la integral de línea es 12.
9.-, C es el segmento de línea de (0, 0) a (1, 0), seguido por el cuarto de círculo a (0, 1). Para el primer segmento de línea de (0, 0) a (1, 0), la ecuación paramétrica es: , , Entonces, las ecuaciones paramétricas queda de la sig. manera: donde t varía de 0 a 1. La longitud de arco de este segmento es: Ahora, para el segundo segmento, el círculo (1, 0) a (0, 1), la ecuación paramétrica es: donde t varía de 0 a π/2. La longitud de arco de este segmento es: Por lo tanto, la integral de línea se puede dividir en dos integrales: Por lo tanto, la solución de la integral de línea es .