Dalla legge di gravitazione universale alla legge delle aree di Keplero
Consideriamo due corpi celesti di massa molto differente.
Supponiamo che il corpo con massa minore compia un'orbita ellittica attorno al corpo di massa maggiore, che può essere considerato fermo (il centro di massa del sistema coincide praticamente col centro del corpo di massa maggiore).
Dimostreremo che
- se il sistema è isolato il momento angolare del corpo celeste orbitante è conservato;
- l'area spazzata dal raggio vettore del corpo celeste orbitante in un intervallo di tempo è proporzionale a tale intervallo di tempo e al modulo del momento angolare del corpo celeste orbitante;
- il momento angolare del corpo celeste orbitante cambia se su di esso agiscono dei momenti torcenti;
- l'unica forza agente sul corpo celeste orbitante è l'attrazione gravitazionale;
- la forza di attrazione gravitazionale è diretta lungo la retta individuata dalle posizioni dei due corpi celesti.
- poiché la retta di azione della forza di attrazione gravitazionale è individuata dalle posizioni dei due corpi celesti essa passa per il centro di rotazione. Quindi la forza gravitazionale non esercita momenti torcenti sul corpo orbitante;
Relazione tra momento angolare e area spazzata dal raggio vettore
Per meglio comprendere questa discussione è utile visualizzare nella costruzione interattiva qui sopra il vettore spostamento e l'area spazzata dal raggio vettore. La velocità può essere nascosta.
Lo spostamento è ottenuto tramite la relazione . In realtà, poiché la velocità dipende dal tempo, questa relazione è valida solo se è molto piccolo (ovvero solo se consideriamo quantità istantanee).
La costruzione interattiva è dotata di un cursore che permette di regolare .
- se è abbastanza piccolo l'area spazzata dal corpo orbitante è ben approssimata dal triangolo FPP';
- la base di questo triangolo è il segmento PP', che ha lunghezza ;
- l'altezza del triangolo è il segmento FH, che è il cateto opposto all'angolo nel triangolo rettangolo FHP; questo significa che . Quindi si può scrivere
- a questo punto, dividendo e moltiplicando per la massa del corpo celeste, si può riconoscere il momento angolare
Legge delle aree Questa costruzione può essere effettuata in un qualunque punto dell'orbita. Se si fissa l'intervallo di tempo si può concludere che le due aree spazzate dal raggio vettore in due punti distinti dell'orbita sono uguali, visto che la massa e il momento angolare non cambiano. Abbiamo quindi dimostrato la legge delle aree di Keplero, almeno per intervalli di tempo sufficientemente piccoli. Un intervallo di tempo lungo può essere sempre scomposto in una successione di intervalli brevi. L'area corrispondente all'intervallo lungo non è altro che la somma delle aree relative agli intervalli brevi. Questo permette di generalizzare la dimostrazione ad aree corrispondenti a intervalli non necessariamente piccoli.