Anwendung der Integralrechnung - Unterrichtsplanung

Autor:Michael Radler, GeoGebra Team

Thema:Integral, Mathematik, Polynomfunktionen oder ganzrationale Funktionen, Pyramide, Körper, Ober- und Untersumme oder Riemann-Summe, Volumen

Kurzinformation

Thema: Anwendung der Integralrechnung
12. Schulstufe (Maturajahrgang), Mathematik
Dauer: 3 Unterrichtseinheiten
SchülerInnenmaterial: Geogebra-Buch, Arbeitsblätter
Spezielle Materialien: Kuchen, Papier, Papiermaßband, Küchenwaage

In dieser Unterrichtssequenz sollen die Möglichkeiten der Integralrechnung (nachdem diese bereits mittels Unter- und Obersummen eingeführt wurde) anhand von Beispielen demonstriert und erarbeitet werden. Das Ziel ist Volumsberechnungen durch das Integral der Flächenfunktion (Pyramide) und das Volumen von Drehkörpern zu berechnen.

Vorwissen und Voraussetzungen

Die SchülerInnen ...

... kennen den Strahlensatz und können elementare Flächeninhalte berechnen (Dreieck, Quadrat, ...)
... kennen den Begriff der Stammfunktion.
... kennen Stammfunktionen von elementaren Funktionen.
... können das bestimmte Integral als Zahl "zwischen" Ober- und Untersummen auffassen.
... können ein Integral als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten.
... können einfache Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen berechnen.
... können Flächen, deren Form durch Polynome gegeben ist, berechnen.
... können mit Geogebra umgehen.

Lernergebnisse und Kompetenzen

Die SchülerInnen können...

... das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben und berechnen (Flächeninhalte, Volumina).
... genutzte Begriffe mit der mathematischen Fachsprache in Bezug setzen.

Unterrichtsablauf

Die Unterrichtssequenz beginnt mit der Einführung der Flächenfunktion der Pyramide. Durch kooperatives Lernen sollen die SchülerInnen einen Arbeitsauftrag mit einem konkreten Volumsberechnungsproblem einer Stufenpyramide bearbeiten und sowohl "händisch" als auch mit Technologieeinsatz lösen. Das Cavalieri-Prinzip wird anhand eines Geogebra-Applets erarbeitet. Im zweiten Teil der Unterrichtssequenz wird die Integralrechnung zur Volumsberechnung von Drehkörpern demonstriert und geübt. Zum Abschluss der Unterrichtssequenz (3. Teil) wird eine konkrete Volumsberechnung eines speziellen Drehkörpers (Kuchenstück) in Kleingruppen (3-4 Personen) gelöst und überprüft.

Unterrichtseinheit 1 (50 min)

Die SchülerInnen erhalten zu Beginn der Stunde die Information, dass es in den folgenden 3 Unterrichtseinheiten um Volumsberechnungen geht. Ohne weitere Information wird das Arbeitsblatt 1 zur Bearbeitung ausgeteilt und den SchülerInnen 25 Minuten Zeit zur Bearbeitung gegeben. Abhängig vom Bearbeitungsfortschritt kann überforderten SchülerInnen der Hinweis „Strahlensatz und Ähnlichkeit“ gegeben werden, die Berechnungen sollen aber selbstständig und händisch erfolgen, um den SchülerInnen die Möglichkeit zu geben, das Prinzip zu durchschauen. Es ist auch völlig in Ordnung, wenn die SchülerInnen das Problem der Flächenfunktion umgehen und die Strecken der Grundfläche der jeweiligen Quader mit Bleistift und Lineal konstruieren und messen. Es ist auch durchaus möglich, dass SchülerInnen, die weniger Zeit für die Bearbeitung der Aufgabe benötigen, langsameren SchülerInnen behilflich sind. Nach der Bearbeitung von Arbeitsblatt 1 darf ein Zweierteam das Ergebnis kurz präsentieren (max. 5 Minuten). Unterstützend kann folgendes Geogebra-Applet (Pyramidenvolumen) durch die Lehrkraft zum Einsatz kommen, um den Effekt der feineren Unterteilung zu visualisieren (max. 5 Minuten). Nachdem die SchülerInnen das Prinzip verstanden haben, soll in der verbleibenden Unterrichtszeit nun der Übergang zum Integral demonstriert werden. An der Tafel wird durch die Lehrkraft die Herleitung der exakten Formel für das Pyramidenvolumen demonstriert. (Tafelbild) Als Hausübung ist die Volumsformel für den Kreiskegel herzuleiten.

Unterrichtseinheit 2 (50 min)

Als Einstieg für die 2. Unterrichtseinheit (Volumsberechnungen von Drehkörpern) eignet sich die Besprechung der Hausübung der vorangegangenen Unterrichtseinheit. (Herleitung der Volumsformel für den Kreiskegel). Es soll nun das Verständnis geschaffen werden, dass sich das Volumen jeglichen Drehkörpers, dessen Rand sich durch eine Polynomfunktion darstellen lässt, mittels Integralrechnung berechnen lässt. Gemeinsam mit den SchülerInnen wird anhand des Schulbuchs oder dieses Skriptums (Rotationskörper) der Lehrstoff erarbeitet und gemeinsam Beispiel 1 an der Tafel gerechnet. Als zweites Beispiel wird das Volumen eines Hühnereies berechnet. Die Problematik besteht darin, dass die Polynomfunktion, die die Form des Eies beschreibt, nicht bekannt ist. Das Problem wird mit Arbeitsblatt 2 unter Zuhilfenahme von Geogebra gemeinsam gelöst. Als Hausübung eignen sich diese 2 Aufgaben, wobei das erste ohne Zuhilfenahme von Technologie zu lösen ist.

Unterrichtseinheit 3 (50 min)

Die dritte Unterrichtseinheit besteht darin, das Erlernte zu üben und Anwendungsbeispiele zu lösen. Zu Beginn der Unterrichtseinheit werden die Hausübungsbeispiele nachbesprochen und eventuelle Probleme geklärt. Anschließend wird in 2er-Teams Aufgabe 3 bearbeitet (max. 15 Minuten). Den Abschluss bildet ein kulinarisches Anwendungsbeispiel.:(Arbeitsblatt 4) Die SchülerInnen bilden Gruppen (3-4 Personen). Es werden 2-3 Marmorgugelhupf zur Verfügung gestellt, davon bleibt einer unberührt, der Rest wird in leicht unterschiedlich große Stücke geschnitten und den SchülerInnen angeboten. Die Aufgabe besteht nun darin das Volumen der einzelnen Stücke zu berechnen. Zur Verfügung gestellt wird kariertes Papier und Papiermaßbänder. Die Kontrolle des Ergebnisses erfolgt durch Abwägen mit einer Küchenwaage. Sofern die Dichte des Kuchens bekannt ist, lässt sich so jedes Ergebnis rasch überprüfen.

Sicherung / Hausübung

Die Hausübungen sind bei den entsprechenden Unterrichtseinheiten zu finden.

Überprüfen des Lernerfolges

Unterrichtseinheit 1: Die Überprüfung des Lernerfolges wird durch die Präsentation des Ergebnisses sichergestellt. Da vorher nicht klar ist, wer präsentieren muss, hat sich jedes Team bestmöglich vorzubereiten. Beim Vergleichen der HÜ in der darauffolgenden Unterrichtseinheit besteht die Möglichkeit Unklarheiten zu beseitigen. Unterrichtseinheit 2: Der Lernerfolg wird während der Bearbeitung der Aufgaben durch die Lehrkraft überprüft. (Schauen ob jeder weiß, was zu tun ist). Beim Vergleichen der HÜ in der darauffolgenden Unterrichtseinheit besteht die Möglichkeit Unklarheiten zu beseitigen. Unterrichtseinheit 3: Sofern die Gruppen zu einem brauchbaren Ergebnis kommen und den Lösungsweg präsentieren können, ist sichergestellt, dass die Kompetenzen erreicht wurden.

Links zu Materialien und Quellen

Alle Arbeitsblätter und Hausübungen OHNE Lösung Arbeitsblatt 1 - Stufenpyramide Geogebra - Pyramidenvolumen Tafelbild - Herleitung Pyramidenvolumen Mathematikbuch Mathematik verstehen 8 (Malle) Skriptum - Rotationskörper Beispiel 1 Arbeitsblatt 2 Hausübung 2 - 2 Beispiele Arbeitsblatt 3 Arbeitsblatt 4 Zeitschriften: Mathematik lehren, Heft 119 (August 2003), Seite 14 (Heißluftballon) Mathematik lehren, Heft 210 (Oktober 2018), Seite 29 (Pyramidenvolumen) Zusatzinfo: Integralrechnung