Rupert herceg problémája.
Rupert rajnai herceg katonaként végig harcolta a XVII. századot, neve mégis inkább egy fizikai és egy matematikai csecse-becse elnevezésében maradt az utókorra.
Mi most az utóbbi problémával foglalkozunk, ennek az anyagnak a hatására, amelynek a részletei itt találhatók.
Ezek szerint egy konvex poliéder Rupert tulajdonságú, ha vágható rajta olyan "alagút" amelyen az ezzel egybevágó, vagy nála nagyobb, hozzá hasonló poliéder "átfér".
Kicsit részletesebben: amelyhez van a konvex poliéderből kivágott tórusz szerű közönséges poliéder, amelyen átdugható egy vele egybevágó poliéder úgy, hogy ne legyen közös belső pontjuk.
A legismertebb Rupert tulajdonságú poliéder a kocka, amelyen átdugható egy vele egybevágó kocka is.
A
Amint az anyag elején említett videóból kitűnt, nem egyszerű feladat egy konvex poliéderről eldönteni, hogy Rupert tulajdonságú-e. Bár "mindössze" azt kell igazolni, hogy van két olyan sík, amelyre merőlegesen vetítve az adott poliédert az egyik vetületen belül elhelyezhető a másik.
Pl. a kocka esetében elegendő igazolni, hogy egy a élű kocka szabályos hatszög vetületében - amelynek az oldala a·sqrt(6)/3 "elfér" egy a élű négyzet. Márpedig elfér, sőt még kicsit nagyobb is.
Érdeklődő olvasóink itt találják a téma legalaposabb magyar nyelvű elemzését: https://www.math.elte.hu/thesisupload/thesisfiles/2022bsc_mat3y-dum5e7.pdf
Van-e Rupert-tulajdonságú toroid?
Nyilvánvaló, hogy a Rupert tulajdonságú konvex poliéderekből képzett tórusz-szerű poliéder - röviden: toroid - amelyen érintkezés nélkül átfér a vele egybevágó példánya maga is Rupert tulajdonságú, azaz átfér saját magán. Sőt: abban az értelemben is átfér, hogy e mozgás közben a toroid két példányának egyáltalán ne legyen közös pontja.
Könnyen elő tudunk állítani ilyen tórusz-szerű poliédereket, de nehezebb a kérdés, ha már egy - más szempont szerint előállított - toroidot vizsgálunk ebből a szempontból.
Vajon a - nem a Rupert tulajdonság igazolására előállított - toroidok közül melyek a Rupert tulajdonságúak, és melyek bizonyíthatóan nem?
Meg tudjuk-e változtatni - egy toroid csúcsainak a koordinátáit - a kombinatorikus szerkezetét megtartva - úgy, hogy Rupert tulajdonságúvá váljon?
Például ennek, vagy ennek a toroidnak a koordinátái megválaszthatók-e úgy, hogy Rupert tulajdonságú legyen?
Ez a kérdés az itt bemutatott poliéderek mindegyikére feltehető.