Construcciones geométricas de paralelogramos
- Autor:
- profeDomingoHely Perez
- Tema:
- Construcciones, Paralelogramo
Contenido
- Dos construcciones del rectángulo
- Dos construcciones del rombo
- Cuatro construcciones del cuadrado
Algunas construcciones de paralelogramos
Se muestran unos procedimientos para dibujar rectángulos, rombos y cuadrados. Además, se comprueban otras propiedades de paralelogramo, aprovechando
Rectángulo:
Construcción No. 1: Dados dos lados contiguos, AB y AC, los cuales son perpendiculares.
El proceso es como sigue:
1. Trazar perpendicular por el extremo de cada lado: perpendicular a AB por el punto B y perpendicular a AC por el punto C.
2. Trazar los segmentos BD y AD
Otra propiedad que cumplen los rectángulos es que en todo rectángulo las diagonales son congruentes.
Esto se puede comprobar si se trazan las diagonales. La intersección E de las diagonales es el punto medio de cada diagonal. Por eso la circunferencia con centro en E pasa por los cuatro vértices del rectángulo. Esto significa también que el rectángulo es inscrito en la circunferencia y la circunferencia es circunscrita al rectángulo.
Construcción No. 2:
Dada una semicircunferencia con centro en D y un punto sobre la semicircunferencia.
En esta construcción se aplica una propiedad del ángulo inscrito en una semicircunferencia: todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. De ahí que los lados AC y CB son perpendiculares.
1. Determinar el punto C', simétrico de C con relación a D.
2. Trazar los cuatro lados del rectángulo: AC, CB, BC', C'A.
El segmento AB es el diámetro de la semicircunferencia y corresponde a una diagonal del rectángulo.
Rombo:
Construcción No. 1:
Dado el lado AB.
1. Trazar una circunferencia con centro en A y radio AB
2. Ubicar un punto en la circunferencia. Trazar el lado AC
3. Trazar la bisectriz del ángulo BAC
4. Trazar una circunferencia con centro en B y radio AB. Se obtiene el punto E
5. Trazar los dos lados restantes del rombo, CE y BE
Una forma diferente de hacer esta construcción es que, en vez de trazar la bisectriz del ángulo, se trazan paralelas a los lados AB y AC por los extremos B y C, respectivamente. La intersección de las dos paralelas es el punto E.
En el applet que sigue se puede comprobar una propiedad importante del rombo: en todo rombo las diagonales son perpendiculares y se intersecan en sus puntos medios. Esto significa que las diagonales del rombo son mediatrices entre sí.
También se puede observar que si los ángulos interiores del rombo son rectos, la figura se convierte en un cuadrado.
Construcción No. 2:
Dadas las dos diagonales, AB y CD. Estas diagonales son dos segmentos perpendiculares en su punto medio, punto E.
Es la construcción más fácil del rombo. Sólo se necesita trazar los segmentos que unen dos extremos consecutivos de las diagonales: AC, CB, BD y DA.
Se puede comprobar que los 4 lados siempre tienen igual medida.
Cuadrado:
Construcción No. 1:
Dado el lado del cuadrado.
1. Trazar una perpendicular al lado por un extremo del lado, punto A.
2. Trazar una circunferencia con centro en A y radio AB. Se obtiene el punto C
3. Trazar paralelas por los puntos extremos de los lados: paralela a AB por C y paralela a AC por B. Se obtiene el punto D.
El mismo resultado se obtiene trazando perpendiculares a los lados.
4. Trazar los 3 lados restantes: AC, CD y BD.
Se puede comprobar que
- las diagonales del cuadrado son perpendiculares entre sí por su punto medio
- las diagonales del cuadrado son congruentes
- el cuadrado es inscrito a la circunferencia con centro en E y radio igual a la mitad de cada diagonal
Construcción No 2:
Dado un segmento AB con longitud igual al lado del cuadrado.
1. Trazar mediatriz al segmento AB, es decir, perpendicular por su punto medio C.
2. Trazar perpendiculares al segmento AB por sus extremos, o también, paralelas a la mediatriz por A y B.
3. Trazar circunferencia con centro en C y radio AC. Se obtienen los puntos D y E
4. Trazar perpendiculares a la mediatriz por D y E, o también, paralelas al segmento AB por D y E. Se obtienen los puntos M, H, F, G
5. Trazar los 4 lados del cuadrado, FG, GH, HM y MF
El cuadrado es circunscrito de la circunferencia con centro en C y radio igual a la mitad del lado.
Construcción No. 3:
Dada la diagonal del cuadrado, segmento PQ.
1. Trazar la mediatriz de la diagonal PQ. C es el punto medio de la diagonal
2. Trazar circunferencia con centro C y radio CP. Se obtienen los puntos D y E
3. Trazar los cuatro lados del cuadrado, PD, DQ, QE y EP
En este caso, el cuadrado es inscrito en la circunferencia con centro en C y radio igual a la mitad de la diagonal.
Construcción No. 4:
Dado un segmento GH de longitud igual a la medida de la diagonal.
La medida de la diagonal está determinado por el deslizador.
1. Trazar la mediatriz del segmento GH. E es el punto medio de este segmento
2. Trazar circunferencia con centro E y radio EG. Se obtienen los puntos M y N
3. Trazar las bisectrices de los ángulos formados por el segmento GH y la mediatriz. Se obtienen los 4 vértices del cuardrado, A, B, C y D
4. Trazar los cuatro lados del cuadrado, AB, BC, CD y DA
El cuadrado de esta construcción también es inscrito a la circunferencia con radio igual a la mitad de la diagonal pero queda en una posición diferente con relación a la construcción No. 3.