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Modelo de crecimiento económico de Solow-Swan

Autor:Samuel Ochoa

Introducción

El crecimiento económico es el aumento de la renta o valor de bienes y servicios finales producidos por una economía (generalmente de un país o una región) en un determinado periodo (generalmente en un año). A grandes rasgos, el crecimiento económico se refiere al incremento de ciertos indicadores, como la producción de bienes y servicios, el mayor consumo de energía, el ahorro, la inversión, una balanza comercial favorable, el aumento de consumo de calorías per cápita, etc. La mejora de estos indicadores debería llevar teóricamente a un alza en los estándares de vida de la población. Habitualmente el crecimiento económico se mide en porcentaje de aumento del Producto Interno Bruto real o PIB; y se asocia a la productividad. El crecimiento económico, así definido, se ha considerado (históricamente) deseable, porque guarda una cierta relación con la cantidad de bienes materiales disponibles y por ende una cierta mejora del nivel de vida de las personas. La relación es más fuerte cuando se mide el crecimiento económico y el PIB per cápita, es decir, el ingreso de los habitantes de un país. La variación a corto plazo del crecimiento económico se conoce como ciclo económico, y casi todas las economías viven etapas de recesión de forma periódica. El ciclo puede confundirse puesto que las fluctuaciones no son siempre regulares. La explicación de estas fluctuaciones es una de las tareas principales de la macroeconomía. La variación a corto plazo del crecimiento económico ha sido minimizada en los países de mayores ingresos desde principios de los 90, lo que se atribuye en parte a una mejor gestión macroeconómica. El camino a largo plazo para el crecimiento económico es un asunto fundamental del estudio de la economía; a pesar de las advertencias enumeradas anteriormente, el aumento del PIB de un país suele considerarse como un aumento en el nivel de vida de sus habitantes. En períodos largos, incluso pequeñas tasas de crecimiento anual pueden tener un efecto significativo debido a su conjugación con otros factores. Una tasa de crecimiento del 2,5% anual conduciría al PIB a duplicarse en un plazo de 30 años, mientras que una tasa de crecimiento del 8% anual (experimentada por algunos países como Corea del Sur, Hong Kong, Singapur y Taiwán) llevaría al mismo fenómeno en un plazo de sólo 10 años. Cuando una población aumenta, el PIB tiene que crecer más rápido que esa población para que la calidad de vida mejore. Para estudiar el crecimiento económico a largo plazo existen diversos modelos. El primer modelo de crecimiento económico cuantitativo moderno fue el modelo de Solow-Swan. El modelo de Solow-Swan es un modelo de crecimiento económico a largo plazo dentro del enfoque neoclásico. Trata de explicar el crecimiento económico a largo plazo estudiando la acumulación de capital, el crecimiento poblacional, y los incrementos en la productividad (progreso tecnológico). Se fundamenta en la función neoclásica de producción agregada, usualmente de tipo Cobb-Douglas. Este modelo fue desarrollado independientemente por Robert Solow y Trevor Swan en 1956. Matemáticamente, el modelo de Solow-Swan es un sistema no lineal que consiste de una sola ecuación diferencial ordinaria que modela la evolución del suministro de capital per cápita. Debido a sus características matemáticas, este modelo ha sido un punto de partida muy conveniente para modelos extendidos, como el de Ramsey-Cass-Koopmans (1965).

Características generales de los modelos de crecimiento exógeno

La principal característica de un modelo de crecimiento exógeno, como el de Solow-Swan, es su función de producción: Se dice que son modelos de crecimiento exógeno aquellos que tienen variables cuyos valores son externos al modelo, los cuales son:
  • Una tasa de ahorro constante (s), que es la proporción del ingreso que no se consume. donde
  • La tasa de depreciación constante del capital (δ), que es la proporción del capital agregado que se deteriora en un tiempo determinado y tiene que reemplazarse: donde y es la derivada del capital agregado respecto al tiempo.
  • La tasa de crecimiento constante de la población (n). El crecimiento de la población es directamente proporcional a la población existente, por lo que sigue un modelo de crecimiento exponencial simple:
  • La tasa de progreso tecnológico (g), si se toma en cuenta, puede ser o no ser constante, y se define como:
Las principales suposiciones de este tipo de modelo son:
  • Un solo bien compuesto representativo de la producción.
  • Dos factores de producción: capital (K) y trabajo (L). Los factores de producción son empleados totalmente, por lo que la población total es igual al trabajo total.
  • Dos agentes: empresas y familias.
  • Una economía cerrada perfectamente competitiva sin sector público.
  • Al ser un mercado perfectamente competitivo, los factores de producción son remunerados de acuerdo a su productividad marginal.
  • Debido a la ausencia de sector público y comercio internacional, la producción se reparte entre consumo e inversión:
  • La condición de equilibrio macroeconómico indica que el ingreso agregado debe ser igual la producción total, por lo que todos los ahorros se convierten en inversión:
A partir de esta última igualdad se obtiene la ecuación de acumulación de capital: Esto quiere decir que el incremento del capital agregado es la diferencia del ahorro agregado menos la inversión necesaria para mantener el capital agregado constante. El crecimiento económico se mide realmente mediante el ingreso per cápita, no el ingreso agregado. Entonces, es necesario estudiar la acumulación de capital per cápita, es decir, su derivada respecto al tiempo: Sustituyendo por su definición (ecuación de acumulación de capital) se obtiene: Esta es la llamada ecuación fundamental del crecimiento económico, pues es la variación del capital per cápita, lo cual determinta directamente el ingreso per cápita. Para estudiar un modelo de crecimiento exógeno se deben definir las suposiciones y variables exógenas, determinar las características de la función de producción, y obtener las ecuaciones de acumulación de capital agregado y per cápita particulares a dicha función.

Características particulares del modelo de Solow-Swan

El modelo de Solow-Swan se define por el uso de una función de producción neoclásica, la cual debe cumplir con las siguientes características:
  • Rendimientos constantes a escala en ambos factores productivos. Esto quiere decir que si se multiplica por un mismo número a los factores de producción, la producción total aumentará en la misma magnitud:
  • Productividad marginal de los factores positiva pero decreciente. Esto significa que a lo largo del tiempo los factores productivos seguirán contribuyendo a la producción, pero cada vez menos. Matemáticamente, implica cuatro condiciones: , , ,
  • Cumplimiento de las condiciones de Inada, las cuales son suposiciones sobre la forma de la función de producción que garantizan la estabilidad del crecimiento económico. La primera condición es que la derivada de la función de producción respecto a cada factor tiende a infinito cuando el factor tiende a 0: , La segunda condición es que la derivada de la función de producción respecto a cada factor tiende a 0 cuando el factor tiende a infinito: ,

Análisis del modelo Solow-Swan con una función de producción Cobb-Douglas

La función de producción neoclásica más sencilla y una de las más estudiadas es la de tipo Cobb-Douglas con rendimientos constantes a escala: Reemplazando en la ecuación de acumulación de capital: Para obtener la ecuación fundamental del crecimiento económico se deriva el capital per cápita: Sustituyendo con su definicón se obtiene la ecuación fundamental de crecimiento económico del modelo: De esto se interpreta que el crecimiento del capital per cápita es definido por la diferencia entre la inversión efectiva per cápita y la inversión de reposición. El ingreso per cápita viene dado por la contribución del capital per cápita y la tecnología: Una de las implicaciones del modelo de Solow-Swan es que a largo plazo la economía llega a un nivel de ingreso estable (y*) y dejará de crecer, a menos de que se introduzca una fuente de crecimiento exógena (progreso tecnológico). Esto ocurre en el punto en el que la acumulación de capital es cero, es decir, cuando la inversión efectiva es igual a la inversión de reposición: A partir de esta ecuación se puede establecer el tamaño del suministro de capital per cápita en el estado de equilibrio (k*): Para entender cómo se llega a ese punto, se tiene que estudiar la tasa de acumulación del capital per cápita: Esta expresión tiene una asíntota vertical en y una asíntota horizontal en : Entonces, la tasa de acumulación del capital per cápita es muy grande cuando el suministro de capital existente es pequeño, y conforme aumenta este suministro va disminuyendo la tasa de acumulación del capital subsiguiente. En algún momento, la tasa de acumulación del capital per cápita será cero, lo que quiere decir que no se acumulará más capital (estado de equilibrio). A la derecha de ese punto, la tasa de acumulación del capital per cápita es negativa, lo que quiere decir que se disminuirá el suministro de capital hasta llegar al punto de equilibrio. Por definición, este punto de equilibrio es el mismo punto de equilibrio de la ecuación fundamental de crecimiento, lo cual se puede comprobar matemáticamente: Para entender la dinámica del ingreso per cápita en este modelo, se tiene que estudiar su tasa de crecimiento. El ingreso per cápita, por supuesto, sigue un crecimiento exponencial simple dado por una ecuación diferencial de la siguiente forma: Para hallar esa tasa de crecimiento () se busca la variación o derivada del ingreso per cápita respecto al tiempo: Luego se divide la derivada entre el ingreso per cápita: Entonces, la tasa de crecimiento del ingreso per cápita es igual a la tasa de crecimiento del capital per cápita multiplicado por la proporción del capital en la producción, más la tasa de progreso tecnológico. En específico, si se asume que no hay progreso económico, se puede decir que la tasa de crecimiento del ingreso per cápita es directamente proporcional a la tasa de acumulación del capital. Esta tasa de crecimiento del ingreso per cápita, entonces, puede ser positiva si el capital per cápita está por debajo del nivel de equilibrio o negativa si está por encima de este nivel. Cuando se llega al estado de equilibrio, la tasa de acumulación del capital es cero, por lo que el crecimiento económico solo continuará si existe progreso económico (g), que es exógeno al modelo. A continuación se pueden comprobar gráficamente las implicaciones de este modelo.

Ingreso per cápita y estado de equilibrio

En esta gráfica se representa el ingreso per cápita () y los componentes de la acumulación de capital per cápita: la inversión efectiva (azul) y la inversión de reposición (negro).
  • El punto de intersección de estas dos últimas curvas es el punto en el que la economía está en equilibrio, pues solo se está invirtiendo lo necesario para reponer el capital que se deprecia.
  • Si la economía se encuentra a la izquierda de ese punto, se estará haciendo una inversión por encima del nivel de reposición, aumentando el ingreso per cápita y el capital per cápita hasta llegar al punto de equilibrio.
  • Si la economía se encuentra a la derecha de ese punto, en cambio, significa que se está invirtiendo menos de lo necesario para reponer el capital que se deprecia, por lo que disminuirá el capital per cápita y el ingreso per cápita hasta llegar al punto de equilibrio.
Manipulando las variables exógenas se puede comprobar que mientras mayor sea la tecnología (A), la proporción de capital en la economía (), y la tasa de ahorro (s) será mayor el ingreso per cápita en general; mientras que la tasa de crecimiento de la población (n) y la tasa de depreciación () disminuyen el nivel de ingreso per cápita en general.

Dinámica de transición al estado de equilibrio

En esta gráfica se representa la tasa de acumulación del capital per cápita () y la tasa de crecimiento económico ().
  • Como fue demostrado anteriormente, el punto en el que la tasa de acumulación de capital es cero es el punto en el que la economía está en equilibrio (), donde solo se invierte lo suficiente para mantener el capital per cápita que se deprecia. Si no hay progreso económico (), este también será el punto en el que la tasa de crecimiento económico será cero; de lo contrario, habrá crecimiento económico en el estado de equilibrio determinado por el progreso económico.
  • A la izquierda del punto de equilibrio, la tasa de acumulación del capital per cápita es positiva y va disminuyendo conforme aumenta el capital per cápita acumulado hasta llegar al estado de equilibrio.
  • A la derecha del punto de equilibrio, la tasa de acumulación del capital per cápita es negativa, por lo que el capital per cápita irá disminuyendo y la tasa de acumulación aumentará hasta llegar a cero, es decir, al estado de equilibrio.
Manipulando las variables exógenas se puede observar cómo cambia la forma de estas curvas y el punto de equilibrio de la economía. De particular interés es el progreso económico (g) que está inicializado en cero. Establecer un valor de g diferente a cero aumentará la tasa de crecimiento económico en equilibrio, justo como predice el modelo.

Regla de oro

El estado de equilibrio del modelo de Solow-Swan es aquel en el que solo se invierte lo necesario para reponer el capital que se deprecia, y no se produce crecimiento económico a menos de que exista progreso tecnológico. La economía siempre se ajusta a los cambios de sus variables hasta llegar al estado de equilibrio, cuyo nivel de capital per cápita está dado por la siguiente expresión: Sin embargo, no se está tomando en cuenta si este estado de equilibrio es el ideal. El principio de maximización de utilidad indica que se debe buscar el punto en el que el consumo es el máximo, no el ingreso ni el capital, pues es el consumo lo que provee utilidad a los agentes económicos. Partiendo de la ecuación fundamental de crecimiento y tomando en cuenta que : Se busca maximizar el consumo en el estado de equilibrio (): El consumo es máximo cuando su derivada respecto al capital per cápita es cero: Esta ecuación indica que en el nivel de maximización del consumo las pendientes de las curvas de ingreso per cápita y de inversión de reposición son iguales, por lo que se puede trazar una recta paralela a esta última y tangente a la primera para hallar el punto ideal. Alternativamente, se puede despejar el capital per cápita para hallar su nivel de optimización del consumo (): Nótese que esta expresión es igual a la expresión general del capital per cápita en estado de equilibrio, pero con en vez de s. Entonces, la regla de oro es que el consumo se maximiza cuando la tasa de ahorro es igual a la proporción de la producción correspondiente al capital. Si la tasa de ahorro es mayor que este nivel óptimo, el estado de equilibrio estará más a la derecha, con un ingreso per cápita mayor pero con un consumo menor. En cambio, si la tasa de ahorro es menor que este nivel óptimo, el estado de equilibrio estará más a la izquierda, con un ingreso per cápita menor y un consumo menor. Ambas situaciones son subóptimas, y a largo plazo lo ideal es ajustar la tasa de ahorro al nivel óptimo. Se puede comprobar la regla de oro en las gráficas de arriba modificando la tasa de ahorro para que sea igual, mayor o menor que .

Implicaciones del modelo de Solow-Swan

Las principales implicaciones de este modelo económico son:
  • Ausencia de crecimiento económico a largo plazo a menos de que exista progreso tecnológico, el cual es exógeno al modelo. Esto fue comprobado de forma matemática y gráfica en la sección anterior. Aumentar la tasa de ahorro cambia el punto de intersección entre las curvas de inversión efectiva e inversión de reposición, creando un nuevo punto de equilibrio con un mayor nivel de ingreso, pero una vez que la economía llega a ese nuevo punto su tasa de crecimiento solo depende del progreso económico. De igual manera, los cambios en la tasa de crecimiento poblacional o la de depreciación solo tienen efecto a corto plazo pues modifican el punto de equilibrio.
  • Convergencia entre los países independientemente de su capital per cápita inicial. Esta es una convergencia condicionada, pues se producirá siempre que no haya progreso económico y los países en cuestión tengan características similares: tasas de ahorro, depreciación y crecimiento poblacional, proporciones de los factores productivos en la economía, tecnología disponible, etc. La falta de evidencia empírica de la ocurrencia de este fenómeno fue lo que llevó a la creación de modelos más complejos como el de Ramsey-Cass-Koopmans que incluyen otros aspectos como el capital humano.
A continuación se explicará por qué el modelo de Solow-Swan no puede explicar el crecimiento económico a largo plazo por sí solo, y luego se estudiará superficialmente las razones por las cuales la convergencia condicionada no se da usualmente.

Por qué el modelo no puede explicar el crecimiento a largo plazo por sí mismo

Como explicó anteriormente, los cambios en la tasa de ahorro, la tasa de depreciación y la tasa de crecimiento poblacional solo tienen el efecto de crear un nuevo punto de equilibrio, creando crecimiento económico a corto plazo que se acaba una vez que la economía llega a ese nuevo estado de equilibrio. Entonces, la única posibilidad de generar crecimiento económico a largo plazo es mediante el progreso tecnológico, el cual es exógeno al modelo. La razón por la que el progreso tecnológico es exógeno se puede resumir en el hecho de que no se considera la existencia de fondos destinados a ello. Para entender esto, se tiene que recordar que en los modelos neoclásicos se supone que los factores de producción son remunerados de acuerdo a su productividad marginal:
  • El salario () remunera el trabajo, y es igual a la productividad marginal del trabajo, es decir, a la derivada de la función de producción respecto al trabajo:
  • La renta () remunera el capital, y es igual a la productividad marginal del capital, es decir, a la derivada de la función de producción respecto al trabajo:
El dinero total que se destina a remunerar los factores de producción se calcula sumando el total de cada factor por su remuneración, es decir: Entonces, todo el ingreso agregado está siendo utilizado para remunerar el trabajo y el capital existente, y ningún recurso está siendo utilizado para producir progeso tecnológico (actividades de investigación y desarrollo, por ejemplo). Por lo tanto, la única forma de incluir la tecnología y su progreso en el modelo es tomándolo como un parámetro exógeno sin explicación en la lógica interna del modelo. Esta gran limitación es lo que llevó a la creación del modelo de Ramsey-Cass-Koopmans y los posteriores modelos de crecimiento endógeno. Sin embargo, el modelo de Solow-Swan sigue siendo de gran utilidad como modelo introductorio en los cursos de economía y como base para la creación de modelos más complejos.

Ejemplo de convergencia entre dos países

Si se tiene un país rico (1) y un país pobre (2), el modelo de Solow-Swan predice que habrá convergencia entre ellos siempre y cuando tengan las mismas características exógenas y no haya progreso tecnológico, sin importar su nivel de capital per cápita inicial. La razón por la que la convergencia económica no es común en el mundo real es precisamente las diferentes características que suelen tener los países ricos y pobres:
  • En los países ricos, el mayor nivel de ingreso per cápita permite que las peronas ahorren una mayor porción de sus ingresos que las personas en países pobres ().
  • Conforme los países se hacen más ricos, sus tasas de crecimiento poblacional suelen ser menores, creando un círculo virtuoso que aumenta el ingreso per cápita; los países pobres, en cambio, suelen tener tasas de crecimiento poblacional altas ().
  • Las economías de los países ricos suelen tener una proporción mayor de su producción correspondiente al capital (maquinaria, fábricas, propiedad intelectual, etc), mientras que los países pobres suelen tener una mayor proporción de su producción correspondiente al trabajo (mano de obra). Esto quiere decir que, muchas veces, .
  • La tecnología disponible en los países ricos suele ser más avanzada que la de los países pobres ().
  • Los países ricos suelen tener un mayor progreso tecnológico que los países pobres ().
A continuación se compararán gráficamente dos países hipotéticos: un país rico (1) y un país pobre (2) con las siguientes características:
  • La misma tasa de depreciación del capital de 5% anual ().
  • La misma tasa de ahorro de 30% del ingreso ().
  • La tasa de crecimiento poblacional del país rico es de 1% (), y la del país pobre es de 2% ().
  • Ambos países tienen acceso al mismo nivel de tecnología que duplica la productividad total de los factores ().
  • La proporción de la producción correspondiente al capital es de 50% en el páis rico () y de 40% en el país pobre ().
Entonces, el país pobre solo difiere del país rico en su tasa de crecimiento poblacional y en la proporción de la producción correspondiente al capital. Estas pequeñas diferencias son suficientes para generar una gran diferencia en el nivel de ingreso per cápita a largo plazo (ausencia de convergencia). Modificando los parámetros de las gráficas se pueden comprobar otros escenarios, tales como:
  • Ambos países tienen las mismas características, excepto que el país rico tiene mayor progreso tecnológico. Para ver esta diferencia en el primer gráfico, presionar el botón de reproducción (flecha dentro de un círculo) de los parámetros A y modificar la velocidad de oscilación de cada uno (flechas dobles a la izquierda y a la derecha del indicador de velocidad). En el segundo gráfico, simplemente se cambia el valor de cada parámetro g.
  • Ambos países tienen las mismas carácterísticas exceptuando una del país pobre que lo ponga en desventaja: una tasa de ahorro muy baja o una tasa de crecimiento poblacional alta, por ejemplo.

Ingreso per cápita y estado de equilibrio de dos países

Dinámicas de transición al estado de equilibrio de dos países

Solución de la ecuación fundamental del crecimiento

Para concluir esta presentación, se buscará la solución de la ecuación fundamental de crecimiento. Esta es una ecuación diferencial ordinaria no lineal de primer orden que define la variación del capital per cápita respecto al tiempo: Se busca el capital per cápita (). Moviendo el segundo término del lado derecho al otro lado de la igualdad se evidencia que tiene la forma de la ecuación de Bernoulli: donde Para resolverla, primero se hace la transformación a ecuación diferencial lineal: Esto hace que la ecuación diferencial quede como: Esta es una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por: donde Reemplazando: Haciendo el cambio de variable Recordando que , la solución queda de forma implícita como:

Conclusión

El objetivo de esta asignación es demostrar una aplicación real de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Se exploró el modelo de crecimiento económico de Solow-Swan, un modelo neoclásico que consiste fundamentalmente en una ecuación diferencial ordinaria no lineal de primer orden que define la variación del capital per cápita respecto al tiempo. Se estudiaron las suposiciones, características e implicaciones de este modelo, el efecto de las variables del modelo sobre las gráficas, el estado de equilibrio a largo plazo y las limitaciones del modelo. Además, se mencionó que el crecimiento poblacional sigue un modelo exponencial simple, otra aplicación más simple de las ecuaciones diferenciales. Este modelo, si bien no es perfecto, es de gran importancia para el estudio del crecimiento económico de los países, y forma la base de nuevos modelos más complejos que tienen mayor poder de predicción. El modelo de Solow-Swan es entonces una demostración perfecta de la gran utilidad que tienen las ecuaciones diferenciales para el estudio de fenómenos naturales y sociales en el mundo real, más allá de ser conceptos abstractos.

Realizado por: Samuel Blackwood (V-28.132.407) Samuel Ochoa (V-27.225.685) Cálculo 4 (CAL444). Ingeniería Informática. Universidad Nacional Experimental Marítima del Caribe 27/05/2019

Fuentes utilizadas

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