[고등수학탐구교실]만델브로 집합
만델브로 집합(Mandelbrot set)
만델브로 집합 은 , 으로 정의된 복소수열 이 다음 조건을 만족시키는 복소수 의 집합이다.
적당한 양수 가 존재하여 모든 자연수 에 대하여 이다.
예를 들어, 이면 이므로 은 만델브로 집합의 원소다.
다음의 정리는 만델브로 집합 을 나타내는데 매우 중요하다.
에 대하여 이면
지오지브라로 만델브로 집합 나타내기
지오지브라 클래식5를 이용하여 만델브로 집합을 나타내어보자.
- 입력창에 다음과 같이 입력하여 함수 g(x), h(x)를 만든다. g(x)=-2+0.025(x-161floor(x/161)) h(x)=-2+0.025floor(x/161) 함수 g(x), h(x)는 보이지 않게 설정한다.
- 슬라이더
도구를 이용하여 최솟값 0, 최댓값 161^2-1, 증가 1, 속도 1/50인 수 t를 만든다. - 입력창에 다음과 같이 입력하여 복소수 c을 만든다. c=g(t)+h(t)i
- 입력창에 다음과 같이 입력하여 복소함수 를 만든다. f(x)=x^2+c
- 스프레드시트창의 A1셀에 다음과 같이 입력하여 복소수 을 만든다. =0i
- 스프레드시트창의 A2셀에 다음과 같이 입력한다. =f(A1)
- 스프레드시트창의 B1셀에 다음과 같이 입력한다. =조건(abs(A1)<=2,1,0)
- 스프레드시트창의 A2셀에 오른쪽 아래를 끌어내려 A30셀까지 자동채우기를 한다.
- 스프레드시트창의 B1셀의 오른쪽 아래를 끌어 올려 B30셀까지 자동채우기를 한다.
- 스프레드시트창의 A1:A30 배열을 선택한 후, 마우스를 우클릭하여 나타나는 메뉴에서 대상 보이기를 해제한다.
- 복소수 c의 설정사항-[고급 기능]-[동적 색상]의 빨강, 녹색, 파랑에 다음과 같이 입력한다. 빨강: 조건(곱(B1:B30)==1,0,합(B1:B30)/30) 녹색: 조건(곱(B1:B30)==1,0,sqrt(합(B1:B30)/30)) 파랑: 조건(곱(B1:B30)==1,0,1)
- 복소수 c를 우클릭하여 나타나는 메뉴에서 자취 보이기를 활성화한다.
- 슬라이더 t를 우클릭하여 나타나는 메뉴에서 애니메이션 시작을 선택하여 만델브로 집합을 관찰하자.
Mandelbrot Set Explorer
아래 링크를 통해 만델브로 집합을 살펴볼 수 있는 사이트로 이동하여 만델브로 집합에 포함되는 복소수 의 궤도를 확인해보고, 아래 지오지브라 애플릿을 통해 실제로 궤도가 사이트에서 보여준 것과 같이 나타나는지 확인해보자.
Mandelbrot Set explorer 사이트 바로가기
만델브로 집합 원소의 궤도 확인하기
Mandelbrot and Julia set
아래 링크를 통해 만델브로 집합과 줄리아 집합의 관계를 살펴볼 수 있는 사이트로 이동하여 두 집합 사이의 관계를 탐구해보자.
- 복소수 가 만델브로 집합에 포함되는지 아닌지에 따라 줄리아 집합을 나타낸 이미지가 어떻게 바뀌는지 관찰해보자.
- 복소수 의 궤도에 따라 줄리아 집합의 모양이 어떻게 되는지 관찰해보자.