M2.II.6 L Bestimmtes Integral definieren
Leitfrage zu Phase 6
Wie kann ich den Bestand aus einer nicht linearen Änderungsratenfunktion beliebig genau bestimmen?Integrale numerisch annähern und mit GeoGebra bestimmen
Ganz analog zum Vorgehen bei der genauen Bestimmung der Ableitung beim Gepard betrachten die SuS nun die infinitesimale Annäherung und den Grenzwert aus beiden Richtungen.
Für Teilintervalle mit positiven Änderungsraten (Flächen oberhalb der x-Achse):
M2.II.6a AB Genaue Wassermenge.
Aufbauend auf der Bearbeitung des Applets (und der Sicherung der Erkenntnisse durch die Verständnisfragen im AB) kann das bestimmte Integral definiert werden:
Im Unterricht sollten die folgenden Aspekte herausgestellt werden:
Das Integral zwischen a und b über der Änderungsratenfunktion *M2.II.6b AB Bestimmtes Integral
lassen sich diese Aspekte nochmals verdeutlichen.
- überschätzen sie die Änderungsrate im Teilintervall und überdecken Fläche zwischen dem Graph der Änderungsfunktion und der x-Achse komplett mit Rechteckstreifen (Obersumme)
- unterschätzen sie die Änderungsrate im Teilintervall und passen die Rechteckstreifen komplett in die Fläche zwischen dem Graph der Änderungsfunktion und der x-Achse ein (Untersumme)
- überschätzen sie die Änderungsrate im Teilintervall (mit betragsmäßig kleinerem Wert) und passen die Rechteckstreifen komplett in die Fläche zwischen dem Graph der Änderungsfunktion und der x-Achse ein (Obersumme)
- unterschätzen sie die Änderungsrate im Teilintervall (mit betragsmäßig größerem Wert) und überdecken Fläche zwischen dem Graph der Änderungsfunktion und der x-Achse komplett mit Rechteckstreifen (Untersumme)
M2.II.6a AB Genaue Wassermenge.
Aufbauend auf der Bearbeitung des Applets (und der Sicherung der Erkenntnisse durch die Verständnisfragen im AB) kann das bestimmte Integral definiert werden:
Im Unterricht sollten die folgenden Aspekte herausgestellt werden:
Das Integral zwischen a und b über der Änderungsratenfunktion - schreibt man
- gibt den orientierten Flächeninhalt zwischen und der -Achse an
- ist der Grenzwert von Produktsummen mit der Näherung der Änderungsratenfunktion durch konstante Änderungsraten in Teilintervallen (graphisch gedeutet in Rechtecksummen).
*M2.II.6b AB Bestimmtes Integral
lassen sich diese Aspekte nochmals verdeutlichen. Integral als orientierten Flächeninhalt
Das Applet *M2.II.6b App Definition Integral ermöglicht es auch negative Flächeninhalte zu erzeugen und rückt so die Grundvorstellung des orientierten Flächeninhalts in den Fokus. Mit dem AB und Applet sollten erneut auf die
- Bedeutung von Flächen unterhalb der x-Achse und
- Fälle mit Null als Wert des bestimmten Integrals
Zeitbedarf
2h + Zeit für Übungen
Übungsaufgaben
Fundamente, RLP, LK (2023, Band 1): S. 188-192
Fundamente, RLP, GK (2023, Band 1): S. 172-175
Elemente der Mathematik, RLP, LK (2017): S. 206/207
Elemente der Mathematik, RLP, GK (2017): S. 164/165
Lambacher Schweizer, RLP, LK (2022): 163/164