Rotation R³-Achse als elementare x,y,z-Achsendrehungen

Autor:
hawe
Thema:
Vektoren 3D (dreidimensional), Matrizen, Rotation oder Drehung, Ähnlichkeitstransformation oder Ähnlichkeitsabbildung oder Ähnlichkeit, Transformationen oder Abbildungen

Rotation ∢φ um beliebige Achse

App Die Winkelauswahl der Achsrotationen (9),(15) muß ggf. für andere Rotations-Achsen angepasst werden, um die richtige Richtung zur zAchse zu treffen!
  • (12) y-Koordinate = 0
  • (18) x,y-Koordinaten = 0
Ich verwende homogene Koordinaten um die Translation in den Ursprung als Matrix schreiben zu können. Voraussetzung: Die Rotationsachse stimme nicht mit einer Koordinatenachse überein. Idee: Transformiere Rotationsachse und Objekt damit die Rotationsachse mit der z-Achse ̈uberein- stimmt, rotiere um Rotations-Winkel φ, transformiere zurück. 1. Translation der Rotationsachse in den Ursprung. 2. Rotation der Rotationsachse um die x-Achse in die xz-Ebene. 3. Rotation der Rotationsachse um die y-Achse in die z-Achse. 4. Rotation des Objekts um die z-Achse mit Winkel φ. 5. Rucktransformation durch Anwendung der inversen Transformationen der Schritte 3,2 und 1. Sei der normierte Richtungsvektor der Geraden g als Rotationsachse. Schritt 1 Translation To Ortsvektor o=g(0) der Geraden in Ursprung verschieben.
Schritt 2 Rotationswinkels α berechnen für Rotation um x-Achse, α liegt zwischen der Projektion ry von r auf der yz-Fläche und der z-Achse . Nach Schritt 2 befindet sich der Drehachsen-Vektor r als r′ in der xz-Ebene: Schritt 3 ------------------ Rotation um y-Achse mit dem Rotationswinkel β. Positive Winkel ergeben eine Rotation gegen den Uhrzeigersinn, wenn man aus Richtung der Positiven y-Achse auf die xz-Ebene schaut: ⇒ cos(β) = −cos(360°−β) = -√(r22+r32) ⇒ sin(β) = −sin(360°−β) = −r1 
Beispiel: g(t):=(1,1,1) + t (1,1,1) | φ=120° R_g: T(v) Dx⁻¹ Dy⁻¹ Dz(φ) Dy Dx T(-v) , http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2008/PDF/kap-13.pdf

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https://www.geogebra.org/m/usjggfmt

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