Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
16. Перпендикуляр к прямой
Рассмотрим прямую и точку , не лежащую на этой прямой. Соединим точку отрезком с точкой прямой . Отрезок называется перпендикуляром, проведенным из точки к прямой , если прямые и перпендикулярны. Точка называется основанием перпендикуляра.
Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.Доказательство
17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. Любой треугольник имеет три медианы. На рисунке ниже отрезки , , — медианы треугольника .
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Любой треугольник имеет три биссектрисы. На рисунке ниже отрезки , , и — биссектрисы треугольника .
Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. Любой треугольник имеет три высоты. На рисунке ниже в отрезки , , — высоты треугольника .
в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке: биссектрисы пересекаются в одной точке; высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке.Эти утверждения мы докажем в VIII классе.
18. Свойства равнобедренного треугольника
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона - основанием равнобедренного треугольника.Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним. Докажем две теоремы о свойствах равнобедренного треугольника. Теорема
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.Доказательство
В равнобедренном треугольнике, биссектриса опущенная к основанию, является медианой и высотой.Доказательство
1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. 2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Практические задания
100. Начертите прямую и отметьте точки и , лежащие по разные стороны от прямой . С помощью чертежного угольника проведите из этих точек перпендикуляры к прямой . 101. Начертите треугольник. С помощью масштабной линейки отметьте середины сторон и проведите медианы треугольника. 102. Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы. 103. Начертите треугольник с тремя острыми углами и треугольник , у которого угол тупой. С помощью чертежного угольника проведите высоты каждого треугольника. 104. Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был: а) острым; б) прямым; в) тупым.
Задачи
105. Точки и лежат по одну сторону от прямой . Перпендикуляры и к прямой а равны. а) Докажите, что ; б) найдите , если . 106. Медиана треугольника продолжена за сторону на отрезок , равный , и точка соединена с точкой . а) Докажите, что ; 6) найдите , если . 107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника. 108. Периметр равнобедренного треугольника с основанием равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника равен 45 см. Найдите стороны и . 109. В равнобедренном треугольнике с основанием проведена медиана . Найдите медиану , если периметр треугольника равен 32 см, а периметр треугольника равен 24 см. 110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный. 111. На рисунке . Докажите, что треугольник равнобедренный.
118. На основании равнобедренного треугольника отмечены точки и так, что . Докажите, что: а) ; б) треугольник равнобедренный. 119. В равнобедренном треугольнике с основанием см отрезок — биссектриса, . Найдите , , . 120. В равнобедренном треугольнике с основанием проведена медиана . На сторонах и отмечены соответственно точки и так, что . Докажите, что: а) ; б) .