A {6,3} típusú szabályos térképek
Mint itt említettük, egy közönséges poliéder megadásához két dolgot kell egyértelműen meghatároznunk:
- a kombinatorikus szerkezetét, vagyis azt, hogy egy-egy lapjának hány csúcsa van, és ezek a lapok melyekkel és milyen sorrendben csatlakoznak egymáshoz;
- a csúcsainak a koordinátáit, ügyelve arra, hogy ezek egyszerű, egymással nem ütköző sokszögeket alkossanak.
... de hogyan?
Vegyük először alaposan szemügyre az alábbi applet első rajzát, amelyből kiolvasható a F07k1{} lista, amely a hétlapú toroid kombinatorikus szerkezete.
A rajzon sötétebb barnával jelölt hatszögekre írt 1, 2, ..7 számok lesznek a hétlapú poliéder lapjainak a sorszámai. Ezt a 7 tagú sorozatot jobbra és balra eltolva kitöltöttük számokkal a hatszögrács egy sorát.
Ezt a kitöltött sort lefelé 1-el és jobbra 3-al - pontosabban: 2+1/2-el - eltolva kapjuk a következő sort. - Ezt az eltolást mutatja a piros nyíl: a barna "sor " eltolt képe a világosbarna. Ezzel az eltolással pl. az 1. sorszám a 3. és 4. alá került.
Ezt az eltolást le és fel ismételve megjelölhetők az 1,2,..7 számmal az egész hatszögrács lapjai.
Más megfelelő eltolás nincs. Ugyanis ha pl. az 1. sorszám a 4. és 5. alá kerülne, akkor a 4. két helyen is szomszédos lenne a 7.-el.
A szabályos hatszögrácsnak van még két "sora": a jobbra lefelé mutató kék, és a balra lefelé mutató zöld.
Ezek azonban egybevágó konstrukciók a barna, sorral csak a sorszámok más permutációban követik egymást. Tehát a 7 lapú {6,3} szabályos toroidnak csak egy kombinatorikus típusa létezik.
Lássuk most el a hatszögrács csúcsait is rendre az 1,2,...14 számokkal az applet ábrája szerint! Ezeket a transzformációkat követve megjelennek a hatszöglapok csúcsaiban a keresett poliéder csúcsainak a sorszámai. Így kapjuk az F07k1{} lista elemeit. A lista neve arra utal, hogy ezzel leírtuk azt a tóruszra rajzolt szabályos gráfot, amelynek 7 tartománya van, minden tartománynak másik hattal van közös éle. k1 azt jelzi, hogy csak egy ilyen gráf létezik.
A rajzon keletkezett egy paralelogramma rács is, amit az azonos sorszámú hatszögek középpontjai alkotnak.
Aki szeretné "látni" magát a tóruszra rajzolt térképet, elegendő kivágni a síkból egy olyan paralelogrammát, amelynek a csúcsai pl. az 1. sorszámú hatszögek középpontjai.
És így tovább
Olvasóinkra bízzuk a többi, 8, 9,...15 tartományú gráf megvizsgálását.
Felhívjuk a figyelmüket, hogy 9, 12, 13, 14, és 15 lap esetén több egymástól különböző kombinatorikus szerkezet - változat - is létezik. Ezt jeleztük a kombinatorikus szerkezetet leíró lista nevében is a k utáni számmal. Annak a vizsgálatát, hogy több változat valóban nem létezhet, olvasóinkra bízzuk.
Figyeljük meg, a térképen, hogy van két olyan eset, ahol az elsőként megjelölt 1, 2, ...n jelű hatszögek nem rendezhetők egy sorba. Ez az F09k2 és az F12k4 gráf.
Megjegyezzük még, hogy ezekről a rajzokról leolvashatók a tóruszfelületre feszített {6,3} szabályos gráfok duális, {3,6} típusú gráfok kombinatorikus szerkezete is. Ezek azok, amelyek tartományai háromszögek,és minden tartományba 6 él fut be. Ezeket úgy kapjuk, hogy hogy a lap sorszáma az ami a fenti rajzon a csúcsokat jelölte, a csúcsoké az, ami a lapokat jelölte.
Pl. az F07k1{6,3} gráf duálisa a
- DF07k1{3,6}={ {1,3,4}, {2,4,5}, {3,5,6}, {4,6,7}, {5,7,1}, {6,1,2}, {7,2,3}, {4,2,1}, {5,3,2}, {6,4,3}, {7,5,4}, {1,6,5}, {2,7,6},{3,1,7}}
Körök (Hamilton körök)
Képzeljük el, hogy egy társaságban mindenki megfogja két társának a kezét.
Ezzel előáll egy (vagy több) emberekből álló kör. (Mint ahogy az oviban megtettük.) Így néha csak egy "kör" keletkezik. Na ez a Hamilton-kör.
Fogalmazzunk egy kicsit pontosabban.
Egyszerű gráfoknak nevezzük azokat a véges gráfokat, amelynek bármely két csúcsát legfeljebb egy él köti össze.
Egy gráf éleiből álló (véges) sorozatot útnak nevezünk, ha a megadott élsorozat minden élének van közös csúcsa a vele szomszédos élekkel. Ha a sorozat első és utolsó éle is szomszédos, akkor az utat körnek nevezzük. Hamilton-kör a gráfnak egy olyan köre, amely a gráf minden csúcsát tartalmazza.
Érdekes, gyakran vizsgált kérdés, hogy egy egyszerű véges gráfnak van-e Hamilton köre, és ha igen akkor hány egymástól különböző Hamilton-köre létezik.
A {6,3} szabályos gráfok Hamilton-körei.
Vegyük szemügyre egy szabályos hatszögrácsot, pl. a fenti applet hatszögrácsait. Színezzük ki az éleit három színnel úgy, hogy a szemközti (itt párhuzalos) élek ugyanazt a színt kapják, és két szomszédos lap közös élének a színe is egyezzenek meg. Így a rács egymással párhuzamos élei ugyanolyan színűek lesznek.
Ha most a hatszögrácsból készítünk egy tóruszra rajzolt gráfot - mint a fenti appletben - akkor a két szín topológiai értelemben vett köröket képez. Többnyire egy-egy Hamilton-kört.
Pl. az F07 gráf esetében a Hamilton-körök csúcsainak a listái a térképről könnyen(??) leolvashatók:
- H1={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}
- H2={ 1, 2, 11, 12, 7, 8, 3, 4, 13, 14, 9, 10, 5, 6}
- H3={ 1, 14, 9, 8, 3, 2, 11, 10, 5, 4, 13, 12, 7, 6}
- ◀ + ▶ = ◀▶
- ◀ + ▶ = ◀▶
- ◀ + ▶ = ◀▶