Le problème des calissons

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Considérons un calisson comme 2 triangles équilatéraux collés par un côté. Si on range les calissons de côté 1 dans une boite hexagonale de côté n, il y a 3 orientations possibles. Montrer qu'il y a autant de calissons dans chacune des orientations.
Par exemple, un arrangement possible des calissons dans une boite hexagonale.
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On pourra colorier les calissons selon leur orientation pour y voir plus clair...
Début de la solution. #spoiler ???? . . . . . . .
Cet applet permet de voir la situation en trois dimensions. Faire glisser le curseur pour faire apparaître les couleurs.
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Et là commencent la beauté du raisonnement : si je fais une rotation de cette figure, je peux distinguer que c'est équivalent à un tas de cubes, qu'on aurait posé dans un coin de pièce totalement carrelée avec des carrés.
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Pour vous expliquer la manœuvre : initialement, la pièce est vide, on peut se convaincre qu'il y a autant de chaque couleur. Selon votre vision de la 3D, vous pouvez avoir l'impression de voir un cube en creux ou un cube en plein.
Pour vous expliquer la manœuvre : initialement, la pièce est vide, on peut se convaincre qu'il y a autant de chaque couleur. Selon votre vision de la 3D, vous pouvez avoir l'impression de voir un cube en creux ou un cube en plein.
Pour vous expliquer la manœuvre : initialement, la pièce est vide, on peut se convaincre qu'il y a autant de chaque couleur. Selon votre vision de la 3D, vous pouvez avoir l'impression de voir un cube en creux ou un cube en plein.
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Si j'ajoute un cube dans le coin de la salle, on ne change pas la proportion de faces dans les différentes orientations. Si je prend le raisonnement avec le sol : j'ai recouvert un carré du carrelage, mais la face supérieure du cube la compense.
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Et si je continue de remplir ma salle en partant du fond, je recouvre à chaque fois 3 faces (et une de chaque couleur) avec mon nouveau cube, mais je fais apparaître 3 nouvelles faces (et c'est une de chaque couleur également)
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calissons

Conclusion : peu importe votre arrangement de calissons dans la boite hexagonale, il y en aura autant dans chaque orientation.

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Probleme-calissons-palais-decouverte (sept-oct 2008) par Guillaume Reuiller.