GeoGebra

M2.III.7.2 L HDI Teil 2

Autor:MaTeGnu
Image
Leitfrage zu Phase 7.2 Wie bestimme ich mit einer Stammfunktion das bestimmte Integral mit beliebigen Grenzen?
HDI Teil 2 ohne Integralfunktion Als didaktische Reduktion kann die Unterscheidung zwischen Integralfunktion und Stammfunktion wegfallen (siehe Phase 7.1). Für den HDI Teil 2 muss man deshalb anders argumentieren. Das digitale Arbeitsblatt M2.III.7.2a AB HDI Teil 2 erarbeiten unterstützt die folgende Erarbeitung:
  • Das bestimmte Integral beschreibt die Gesamtänderung des Bestands im Intervall .
  • Als Bestandsfunktion zu einer Änderungsfunktion haben wir in Phase 7.1 Stammfunktionen kennengelernt: eine Stammfunktion gibt den Bestand zu jedem Zeitpunkt an.
  • Der Bestand zum Zeitpunkt berechnet sich mit .
  • Möchte man die Gesamtänderung eines Bestands bis zum Zeitpunkt berechnen, muss man von noch den Anfangsbestand abziehen: .
  • Möchte man die Gesamtänderung eines Bestands von einem Zeitpunkt bis zum Zeitpunkt berechnen, muss man von noch abziehen: .
  • Alle Stammfunktionen von unterscheiden sich nur durch den Anfangsbestand, eine addierte Konstante, z.B. .
  • Zieht man zwei Funktionswerte voneinander ab, fällt diese Konstante weg.
Alles zusammengenommen ergibt sich also: Das bestimmte Integral als Gesamtänderung des Bestands einer Änderungsfunktion lässt sich auch durch die Differenz der Funktionswerte einer (beliebigen) Bestandsfunktion (Stammfunktion) berechnen.
*HDI Teil 2 mit Integralfunktion Falls in Phase 7.1 Integralfunktionen eingeführt wurden und damit Teil 1 des HDI präzisiert wurde, lässt sich der zweite Teil des HDI leicht mit den SuS übertragen:
  • Das bestimmte Integral kann man mit der Integralfunktion leicht berechnen als Funktionswert an der Stelle b: .
  • Das bestimmte Integral mit beliebigen Grenzen kann man mit der Integralfunktion ebenfalls leicht berechnen als Differenz der Funktionswerte an den Stellen c und b: . Mit dem Applet *M2.III.7.1a) App Integralfunktion aus der vorherigen Phase kann dieser Schritt visuell unterstützt werden.
  • Nach Teil 1 HDI ist jede Integralfunktion eine Stammfunktion von .
  • Alle Stammfunktionen von unterscheiden sich nur durch eine addierte Konstante, z.B. .
  • Setzt man diesen Zusammenhang nun in die Differenz der Funktionswerte der Integralfunktion ein, erkennt man, dass die addierte Konstante wegfällt: .
Das bestimmte Integral lässt sich also als Differenz der Funktionswerte jeder beliebigen Stammfunktion berechnen: .
GeoGebra als Werkzeug An dieser Stelle im Unterrichtsverlauf sollte spätestens der GeoGebra-Befehl Integral() eingeführt werden. GeoGebra-Befehlsliste Modul 2 Der Befehl kann von den SuS eigenständig erkundet werden, indem die sie den Begriff Integral in das Eingabefeld des Grafikrechners eintippen und verschiedene Optionen ausprobieren. Die Erkundung des Befehls kann auch durch das digitale Arbeitsblatt *M2.III.7.2b AB Den Befehl Integral erforschen unterstützt werden.
Zeitbedarf 2h (+ Zeit für Übungen)
Übungsaufgaben Fundamente, RLP, LK (2023, Band 1): S. 198-201 Fundamente, RLP, GK (2023, Band 1): S. 181-184 Elemente der Mathematik, RLP, LK (2017): S. 212 bettermarks: "Stammfunktionen und Integrale", Kap. 3, Serie 3.1 (Bestimmtes Integral berechnen) Lambacher Schweizer, RLP, LK (2022): S.167 Nr. 3

Neue Materialien

Entdecke Materialien

Entdecke weitere Themen