Teorema Dasar Kalkulus
Accumulation Function
We suggest that you first explore the Second Fundamental Theorem of Calculus via Dr. Jackson's GeoGebra activity before proceeding. https://www.geogebra.org/m/cn2khzjf
Teorema Dasar Kalkulus 1
(Fundamental Theorem of Calculus Bagian 1)
Jika f adalah fungsi yang terdiferensialkan pada interval yang mencakup aaa dan bbb serta semua titik di antaranya, maka
.
Pertama melakukan diferensiasi lalu mengintegrasi akan menghasilkan fungsi asalnya lagi, mungkin hanya beda konstanta vertikal.
Salah satu konsekuensinya adalah: jika kita sedang mengintegralkan fungsi g(x)g(x)g(x) dan kita bisa menemukan fungsi f(x) sehingga g(x) = f '(x) (artinya kita menemukan antiturunan apa pun dari fungsi asal ggg), maka kita bisa menemukan nilai pasti dari integral tentu dengan menghitung perubahan total fungsi antiturunannya pada interval tersebut:
.
Mendiferensialkan dan Mengintegralkan
Dalam aplikasi itu, kamu mulai dengan mengetik rumus fungsi f(x) di kotak input. Jika kamu mencentang opsi f(x) di jendela kanan, grafik f(x) kan muncul dalam warna biru.
Formula f '(x) muncul, dengan grafik f f '(x) yang berwarna merah di jendela kiri.
Untuk sementara, matikan grafik f(x) supaya jendela kanan tidak penuh.
Pilih nilai a dengan slider atau dengan mengisi kotak input. Lalu pilih nilai x.
Geser x dari x=a perlahan ke kanan. Akan terlihat akumulasi area of f '(x) dan x-axis. Area hijau bernilai positif dan merah negatif.. Selisih area hijau dan merah itulah nilai fungsi akumulasi A(x) untuk posisi x tersebut
ika kamu mencentang opsi “(x, A(x))” di jendela kanan, kamu bisa melihat titik itu bergerak mengikuti nilai akumulasinya. Geser slider x dan amati bagaimana nilainya berubah. Jika kamu mengaktifkan opsi “A(x)”, grafik penuh fungsi akumulasi akan muncul. Kamu bisa menggerakkan slider untuk melihat bentuk grafiknya dengan lebih jelas. Setelah itu, matikan kembali “(x, A(x))” agar tampilan tidak terlalu ramai.
Perhatikan bentuk grafik A(x). Biasanya terlihat cukup familiar. Aktifkan kembali grafik f(x) dan bandingkan keduanya. Kamu akan melihat bahwa grafik A(x) dan f(x) tampak seperti versi yang bergeser secara vertikal. Untuk memastikannya, centang opsi “Shift”. Ini akan menunjukkan jarak vertikal antara nilai A(x) dan titik pada grafik f(x) untuk nilai x tertentu. Geser titiknya dan perhatikan apakah jarak itu konstan. Bandingkan jaraknya dengan nilai f(a)).
Hasilnya jelas: grafik A(x) dan grafik f(x) memang merupakan versi yang bergeser secara vertikal satu sama lain, dan besar pergeserannya adalah f(a).
Apa yang terjadi jika nilai a lebih besar daripada x?
Terdapat fungsi f(x)=2x+300 dan g(x)=2x, apakah f'(x)=g'(x)?