Función inversa
Cuando se trabajan los contenidos sobre funciones elementales, el concepto de función inversa muchas veces se introduce de forma poco estricta porque su definición formal conlleva la comprensión de varios otros conceptos: aplicación, dominio, conjunto imagen y recorrido (no son lo mismo), aplicación inyectiva, sobreyectiva y biyectiva… y, por supuesto, el propio concepto de función. No se les suele dar la importancia que tienen ni se les suele dedicar el tiempo que necesitan, ya que tampoco es imprescindible que sea así.
De manera muy informal, se define la inversa de una función f, y se denota con f-1, a la función que acepta valores del codominio de la primera y devuelve los correspondientes valores de su dominio. En otras palabras, f-1 deshace los cambios que hizo f.
Para que esto sea cierto, la primera función, de la que queremos obtener la inversa, debe ser biyectiva. Aunque en clase se estudia un procedimiento para obtener la inversa, a veces su resultado no es la inversa real. En otros casos, directamente, no podemos calcular la inversa porque la función en cuestión no es inyectiva. Tanto en una situación como en la otra, los problemas se pueden resolver restringiendo el dominio, bien de la función “original” antes de empezar, bien de la inversa obtenida.
Si la inversa se ha obtenido de forma correcta, las gráficas de ambas funciones son simétricas con respecto a la recta y=x.
Esta construcción te muestra varias funciones de distintos tipos y sus inversas calculadas según el método habitual. En algunos casos la gráfica de la inversa parece incompleta, en otros la inversa tiene restringido el dominio y en otros ni aparece.
Podrás investigar la simetría, ver qué parejas de puntos de cada par de funciones están relacionadas y dibujar "lo que falta" cuando la inversa parece incompleta o no se dibuja. Experimenta con cada par de funciones para contestar a las cuestiones que se plantean abajo.
Hay una breve explicación del funcionamiento general de las construcciones aquí. Puedes consultarla si lo necesitas.
Modo ESTUDIO
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| Elige una función en la lista desplegable. En la lista aparecen las expresiones analíticas sin el nombre de la función. |
| | En la zona de gráficas se muestra su gráfica y, si es posible, la de la inversa. Puedes comprobar que a veces la gráfica de la inversa, aunque se muestre, no tiene la forma que esperabas.
También se muestra la expresión analítica de la inversa en el panel de control.
Por último, hay dos puntos sobre las gráficas. El que hay sobre la función que has escogido de la lista se puede mover arrastrando el dial que corresponde a su abscisa:  . El otro se moverá siguiendo al primero, de forma que sus abscisas y ordenadas se correspondan conforme a la definición de función inversa. |
 | Enciende este botón para que se muestre el eje de simetría. Te facilitará un poco el trabajo. |
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| Si enciendes el botón Rastro, activarás un tercer punto que sólo se verá donde la gráfica de la inversa no esté presente. Este punto dibuja lo que sería el resto de dicha gráfica. Observa bien lo que ocurre, te ayudará durante la investigación. |
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| El botón borrar sólo se muestra si el rastro está activo. Se enciende en cuanto se empiece a dibujar el rastro y lo puedes usar para limpiarlo de la pantalla. Cuando se cambia de función en la lista desplegable, el rastro de borra automáticamente. |
Cuestiones para contestar durante la investigación
- Elige una función para la que la inversa parezca incompleta, como , activa el rastro y mueve el dial para que se dibuje una parte del mismo. ¿Por qué esa parte no pertenece a la función inversa?
- ¿A que función le hemos restringido el dominio, a f o a su inversa?
- ¿Qué propiedad (inyectiva, sobreyectiva, biyectiva) no tiene f?
- Elige ahora una función para la que no aparezca en absoluto la gráfica de la inversa, como o . En el panel de control pondrá que la inversa no existe. ¿Qué diferencia crees que hay con el caso anterior?
- Busca ahora una para la que el dominio de la inversa esté restringido, como . En estos casos, no se dibuja el rastro. ¿Por qué?
- ¿A qué se debe la restricción que ves en el dominio de la inversa?
- Por último, escoge una función cuya gráfica sea totalmente simétrica a la de su inversa. ¿Qué propiedad o propiedades (inyectiva, sobreyectiva, biyectiva) cumple?