f'(x) = f(x) OLDUĞU ZAMAN
Üstel fonksiyonların, anlık değişim oranı (belirli bir giriş değerinde) o fonksiyonun çıktısıyla (belirli bir giriş değerinde değerlendirilir) doğrudan değişen tek fonksiyonlar olduğunu hatırlayın.
Örneğin:
Taşıma kapasitesi veya diğer engelleyici faktörlerin olmadığını varsayarsak, belirli bir türün popülasyonunun herhangi bir t anındaki anlık büyüme hızı, yalnızca o t anındaki gerçek popülasyona bağlıdır. (Şunu düşünün: Sadece 10 bakterinin olduğu bir zamanda bir bakteri kolonisinin anlık büyüme hızı, 10.000 bakterinin olduğu zamandaki anlık büyüme hızından çok daha düşük olacaktır.)
Bundan dolayı, herhangi bir üstel fonksiyon için (şu şekilde yazılabilir) , burada a >0), türevi her zaman kendisinin skaler katı olacaktır. Bunun informal bir örneği için aşağıdaki applet'e bakın.
Applet ile birkaç dakika inceleyin, ardından gelen soruları yanıtlayın..
Tüm x için f'(x) = f(x) olan belirli bir a taban değeri var mıdır? Eğer varsa, bu belirli taban değerinin ne olduğunu düşünüyorsunuz?
Bir skaler olan k sabiti için, eğer ise o zaman olduğunu türevin formel limit tanımını kullanarak gösterin.
Önceki soru için bu sabit (skaler) k'nın tam değeri nedir?
Önceki iki sorudan elde ettiğiniz sonuçları, f'nin etki alanındaki tüm x değerleri için, k = (1) numaralı soruya verdiğiniz değer olduğunda, f'(x) = f(x) olduğunu resmen kanıtlamak için kullanın.