A tengelyes tükrözéstől az Alhazen problémáig

Témák:
Tükrözés

Tükröm, tükröm …

Most egy olyan feladattal (feladatsorozattal?) foglalkozunk, amely feltehetően sok tanulsággal jár jó néhány szempontból, így a GeoGebra alkalmazása szempontjából is. A feladat:    Legyen adott a síkban ‑ a d.) esetben a térben ‑ az A és B pont, valamint egy g vonal. Keressük meg g-nek azt a P pontját, melyre az AP és PB szakaszok hosszának az összege minimális. A g vonal legyen:      a.)  egy egyenes;      b.)  egy kör;      c.)  egy síkgörbe;      d.) egy térgörbe. Feltehetően sok matematika-tanár akár általános- akár középiskolában a tengelyes tükrözés bevezető feladataként ennek a feladatnak az a.) részét szokta választani, legfeljebb ennél kicsit plasztikusabb szövegbe ágyazva. Szépen,didaktikusan lehet tárgyalni, esetleg először azt az esetet vizsgálva, hogy mi a megoldás, ha az A és B pont a g egyenesnek különböző félsíkjában van. Majd jöhet a Pólya-féle kérdés:  „Hogyan lehetne erre az egyszerű esetre visszavezetni a problémát.” Ha más nem, az óra, vagy témakör címe mindenképpen sugallja a megoldást: tükrözzük az egyik pontot a g egyenesre.  a.) 1

a.) 1

Biztos, hogy ez a legkézenfekvőbb ötlet? Könnyen akadhat valaki, akiben felmerülhet a (ki nem mondott) kérdés: Miért éppen a tengelyes tükrözés jutott eszünkbe? A kísérletező, GeoGebrán csiszolódó elméjű diák számára lehet, hogy ez lenne a jobb segítség: Mivel két szakasz hosszának az összegét keressük, talán jó lenne együtt, egy egyenes mentén látnunk a két szóban forgó szakaszt. Próbáljuk ki.  A GeoGebra eszköztára ezt könnyedén lehetővé teszi.

a_2

Ez is egy lehetőség. Meg kell jegyeznünk, hogy egy feladat megoldásához több, módszereiben, felhasznált  eszköztárban különböző út is vezethet, de legjobb  (didaktikai) út ritkán van a matematikában. Királyi út végképp nincs. Ez benne a szép. Ebben a megoldásban már található néhány olyan eszköz, amely hiányzik a "klasszikus" elemi geometria eszköztárból, azonban a Geogebra felhasználói számára kevésbé szokatlan. Minden esetre célszerű megfigyelnünk a fenti  applet forrásfájljának a tanulmányozását. a.) 2
Talán nem túl merész feltételezés, hogy ha csak az  a.) feladatról van szó, akkor is akadhat egy szemfüles diák, vagy – ha más nem -  a „jó” tanár ‑ akiben „mi lenne ha…” alapon felvetődne pl. a b.) kérdés.  Ezzel az ártatlannak tűnő kérdéssel pillanatok alatt szemben találhatjuk magunkat egy jóval izgalmasabb feladattal. Tegyük fel, hogy felvetődött a kérdés. Nem itt és most először. Kicsit régebben: éppen ezer évvel ezelőtt. Alhazen probléma néven vált ismertté: „ Keressük meg a gömbtükör azon pontját, ahova be kell esnie egy adott pontból kiinduló fénysugárnak, ha azt szeretnénk, hogy visszaverődése után egy másik adott ponton menjen át.”  Lényegében ez a feladatunk b.) része.
Image
Alhazen(965-1039) arab matematikusnak, a geometriai optika atyjának ma is nagy kultusza van. Pl. az iraki 10 000 dináros bankjegyen is szerepel.  Az is kiderülhet, hogy Hippokkratész holdacskái tulajdonképpen Alhazen holdacskái. Elegendő a GeoGebra Tube keresőjébe beírni  Alhazen nevét.  Kicsit böngészve a (digitális) irodalomban hamar kiderül, hogy Alhazen tükrözési – vagy biliárd –problémájának nincs euklideszi szerkesztéssel előállítható megoldása. Lássuk, mit tud kezdeni vele a GeoGebra? Ismét próbálkozhatunk az imént alkalmazott fogással. Már ezért is megérte ezt az utat is kitaposnunk. Legyen B’ az [A,P) félegyenesnek az a pontja, amelyre PB’=PB.Keressük meg a B’ pontok mértani helyét, ha P körbefut a körön. Ennek adjuk meg az A-hoz legközelebbi pontját, amelyből rövid szerkesztéssel előállítható a keresett  Pmin pont.  b.) 1
Vajon van-e a GeoGebrának olyan eszköze, amellyel ennél rövidebb, talán elegánsabb úton juthatunk el a várt eredményig? Van egy alapjában véve függvény minimumhelyének a megkeresésére készült GeoGebra  parancs: MinimumKeresés[f(t),t] , ahol f(t) valamilyen t-tőlfüggő szám. A parancs neve kissé félrevezető, ugyanis ez a parancs nem az f(t)  függvény minimumának az értékét, hanem a minimumhelyét állítja elő. t-nek ‑ csúszkával beállítható ‑ szabad változónak kell lennie, ahol legfeljebb a csúszka kezdő és végpontja adható meg dinamikusan, másik két csúszkával. Ha a folytonos f(t) függvénynek a csúszka végpontjai között több helyi minimuma van, akkor ezek közül választ egyet a parancs. Ezért kell a t változót olyan értékek közé zárni, amelyek éppen a keresett minimumhelyet adják meg. Hasznos parancs, megkímél bennünket a deriválás és az egyenlet-megoldás munkájától. Éppen ezért veszélyes is. „Deus ex machina”megjelenik a keresett eredmény anélkül, hogy tudnánk bármit is a minimumkeresés matematikai hátteréről. Függvény minimum helye
Ugyanakkor ez a lehetőség a mi számunkra most különösen hasznos. Ugyanis alkalmazható a b.) feladat megoldására. Ehhez persze az adott körön körbefutó P pontot nem a g kényszerpályán mozgó félig kötött pontként, hanem  a 0≤ t ≤2Pi  paraméterrel kell megadnunk.  b.) 2

b.) 2

Az itt látott „fogást” szinte változtatás nélkül használhatjuk a c.), sőt a d.) feladat megoldására is. Mindössze egy eddig fel nem merült dolgot kell tudnunk kezelni. Ha olyan sík ill. térgörbét adunk meg, amelynek több helyi minimumhelye is lehet, akkor gondoskodnunk kell arról, hogy a „jó” megoldást keresse meg számunkra a MinimumKeresés[ , ] parancs. Ehhez a vizsgálat határait olykor szűkebbre kell venni.

C.)

d.)