Curva cilindro-cónica, ejes perpendiculares
- Autor:
- Enrique Hoyos Jiménez
- Tema:
- Cilindro
Es la intersección de un cilindro y un cono, ambos de revolución.
Consideramos dos casos según los ejes de ambas figuras sean perpendiculares o paralelos.
Si los ejes son perpendiculares, consideramos que sea:
OZ el eje del cono, OY el eje del cilindro,
r el radio del cilindro,
2α el ángulo en el vértice del cono,
d la distancia del vértice del cono al eje del cilindro.
Entonces las ecuaciones de cono y cilindro son:
(k z)² = x² + y² ,, k = tan(α)
(z-d)² + x² = r²
Que son las ecuaciones implícitas de la curva.
Tomando x = r cos(t) , se obtiene la parametrización:
x = r cos(t)
y = ± sqrt(k²(d+r sen(t))² -r² cos(t)²)
z= d + r sen(t) ,, -π ≤ t ≤ π
Se pueden distinguir varios casos según el valor de d en relación a r, α:
1. Caso d = 0 (Figura siguiente). La curva está compuesta de dos lazos cerrados y simétricos respecto al plano de simetría del cono que pasa por el vértice de éste.
2. Caso 0 < d < a/sen(α). Resultan también dos lazos cerrados, pero de diferente tamaño, cada uno en una hoja del cono si 0 < d < a, o en hojas distintas si a < d < a/sen(α).
2. a. Caso d = a, como caso particular del anterior. Uno de los lazos se reduce a un punto que es el vértice del cono.
3. Caso d = a/sen(α). Se obtienen dos elipses cruzadas, que se cortan en dos puntos, ambas en la misma hoja del cono.
4. Caso d > a/sen(α). Se obtienen dos lazos cerrados sin puntos comunes, ambos en la misma hoja del cono.