フェルマー三角形の等分
- 作成者:
- Bunryu Kamimura
これ不思議。なぜだろう？ 何とか証明できないだろうか。
まず、面積を三角関数を使って出してみる
赤＝(FG・BC・sin(α)＋EG・AC・sin(β)＋DG・AB・sin(γ))
青＝(FG・BC・sin(60°-α)＋EG・AC・sin(60°-β)＋DG・AB・sin(60°-γ))
＝(FG・BC・(cos(α)-sin(α))＋EG・AC・(cos(β)-sin(β))＋DG・AB・(cos(γ)-sin(γ))
青－赤＝FG・BC・(cos(α)-sin(α))＋EG・AC・(cos(β)-sin(β))＋DG・AB・(cos(γ)-sin(γ))
＝(FG・BC・(cos(α)-sin(α))＋EG・AC・(cos(β)-sin(β))＋DG・AB・(cos(γ)-sin(γ)))
＝(FG・BC・sin(30°-α)＋EG・AC・sin(30°-β)＋DG・AB・sin(30°-γ))・・・（Ａ）
この値が０になれば、証明が終わる。
ここで、この式を図で表してみる。（この３０°というのはどういう意味なんだ？）
正三角形の半分だから、
しかも３０°－αはピッタリ∠OFG。
つまり、下図のように表わせる。
Ｏは外心。（Ａ）＝水色＋橙＋緑＝０であることを示す。半分にして三角形で考えても同じ。
3つの三角形を等積変換してから、フェルマー三角形におけるピタゴラスの定理を使うと、
青－赤＝０の証明
t7+t8+t9= (1)
一方、「フェルマー三角形におけるピタゴラスの定理」により
(t7-t1)+(t8+t2)+(t9-t3)= (2)
(1)－(2)＝t1-t2+t3=0
つまり、橙＋緑＋水色＝０なので、青＝赤。（証明終わり）
これを証明するのに一週間かかった。
でも楽しかった。