Egy szép elemi geometriai probléma 1941-ből
85/b
Az alábbi feladatot Hujter Mihály fedezte fel. König Dénes jegyzeteiben. Eszerint a feladatot König Dénes és Egerváry Jenő szerkesztette 1941-ben:
Ma már inkább így tűzhetnénk ki ugyanezt a problémát:
Egy körbe írt hatoldalú zárt töröttvonal nem szomszédos éleinek a hossza egyenlő a kör sugarával.
Milyen kapcsolat van a töröttvonal másik három oldalának a felezőpontjai között?
Ez a megfogalmazás talán jobban hangsúlyozza, hogy a körbe írt hatszög önátmetsző is lehet.
Később derült ki, hogy ez a feladat egy jóval általánosabb - propeller feladat néven ismert probléma első, legegyszerűbb megfogalmazása, amelyet még az alábbi megoldást írva még nem ismert e sorok írója.
Most ennél egy kicsit általánosabb feladatot fogalmazunk meg, majd adunk rá egy elemi megoldást.
A propeller feladat:
Legyen a sík négy általános helyzetű pontja O,A,C és E ! Legyenek OABΔ , OCDΔ és OEFΔ azonos
körüljárású szabályos háromszögek. Milyen kapcsolat van a BC, DE, FA szakaszok P,Q,R felezőpontjai között?
Figyeljük meg, hogy ...
A feladat valóban általános. Nem követeljük meg, hogy az adott szabályos háromszögek nem fedhetik egymás, azt sem, hogy az adott pontok között nem lehetnek egybeesők.
A feladat megoldása előtt egyelőre foglalkozzunk a probléma egy részével:
Először vizsgáljuk meg az O, A, B, C, D pontok, valamint az ezekből kapott P pont kapcsolatát!
Legyen az AB, CD, DAszakaszok felezőpontja rendre U, V, T ! Mivel a DB szakasz az AC szakasznak az O pont körüli 60°-os elforgatottja, ezért BD=AC és (AC),(BD) ∢= 60°.
Így az U, P, V, T szakaszfelező-pontok - az O, A, B, C, D pontok elhelyezkedésétől függetlenül - olyan rombuszt alkotnak, amelynek a szögei 60° ill. 120°-osak. Ezt úgy is fogalmazhatjuk, hogy a P pont az UV oldalú, P-t tartalmazó szabályos háromszög középpontja.
Ennek az ismeretnek a birtokában térjünk rá az eredeti problémánk megoldásra. Alkalmazzuk az imént megállapított kapcsolatot rendre a P,Q,R pontokra!
Az U V,W szakaszfelező-pontokhoz tartozó Napóleon háromszögek középpontjai P,Q és R, így
ezek szabályos háromszöget alkotnak.
q.e.d.
Quod erat demonstrandum
Euklídész óta ezzel a nem kis elégedettséget tükröző három betűvel szokták (volt) befejezni egy-egy feladat (tétel) igazolását.
Az elégedettségünk azonban azonnal csorbát szenved, ha kitűzzük magunk elé célként az alábbi feladat (elemi) megoldását:
Legyen a sík három általános helyzetű pontja A,C és D, továbbá az OA OC ODΔ egy tetszőlegesen elhelyezett szabályos háromszög! Legyenek továbbá OAABΔ , OCCDΔ és OEEFΔ ezzel azonos körüljárású ugyancsak szabályos háromszögek. Milyen kapcsolat van a BC,DE, FA szakaszok P,Q,R felezőpontjai között?