Die verflixte Null
Wir betrachten die Funktion . Wie sieht der Graph aus und warum? Das machen wir uns in mehreren Schritten klar.
Im folgenden Applet können Sie mit dem linken Schieberegler kleine x-Werte und mit dem rechten Schieberegler große x-Werte einstellen und beobachten, wie sich dabei die y-Werte verhalten. Gleichzeitig werden die entsprechenden Punkte im Koordinatensystem eingezeichnet, sodass sich ein Teil des Funktionsgraphen ergibt.
Was passiert, wenn wir x noch kleiner werden lassen, d.h. noch näher an x = 0 heran gehen? Schauen Sie sich das anhand des folgenden Schiebereglers an, indem Sie x immer kleiner werden lassen.
Wie man sieht, werden die y-Werte immer größer, je näher x gegen Null geht. Für x=0 wäre ein unendlich großer y-Wert zu erwarten. Das sieht man auch am Graphen, der unendlich nach oben verläuft, je näher er der y-Achse (d.h. dem Wert x=0) kommt. Unendlich ist kein Wert, mit dem sich mathematisch arbeiten lässt. Daher ist der x-Wert Null hier nicht zugelassen. f ist an der Stelle x=0 nicht definiert (n.d.) Das sieht man auch an der Funktionsgleichung von f, denn wie wir wissen, darf man durch Null nicht teilen.
Als nächstes untersuchen wir, wie sich der Graph auf der linken Seite von der y-Achse verhält, d.h. für negative x.
Das folgende Applet zeigt eine Wertetabelle zur Funktion . Die y-Werte auf der linken Seite sind noch falsch (da alle null). Erschließen Sie die richtigen Werte ohne zu rechnen aus den angegebenen y-Werten der rechten Seite und tragen Sie sie in die Tabelle ein. Immer wenn Ihr eingetragener Wert richtig ist, erscheint der entsprechende Punkt im Koordinatensystem.
Damit wissen wir nun, wie der Graph von aussieht. Wir haben außerdem herausgefunden, dass der Graph die y-Achse nicht berührt.
Überlegen Sie abschließend: Berührt der Graph die x-Achse? Anders ausgedrückt: Gibt es eine Stelle x, für welche die Funktion den Wert Null annimmt? Beantworten Sie diese Frage schriftlich. Erklären Sie Ihrem Lernpartner zum Beginn der folgenden Mathe-Stunde Ihre Überlegungen.