Grundlagen Abbildungen Matrizen Basiswechsel

Notationen ist Basis eines Vektorraumes. {b1,b2,b3} spaltenweise zu einer Matrix angeordnete Basisvektoren der Ausgangsbasis B.
Toolbar Imageggb-Hinweis: Falls B aus Vektoren besteht muss eine Wandlung in eine Liste erfolgen um damit Matrizen spaltenweise zusammensetzen zu können b1=(1,1,0) b2=(1,0,1) b3=(0,1,1): eTb:=Transpose({Flatten(b1),Flatten(b2),Flatten(b3)}) Erstellt die Matrix aus den Basisvektoren.
beschreibt eine Basiswechselmatrix von B in die Standardbasis E={e1,e2,e3}={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}T, beschreibt eine Basiswechselmatrix von der Standardbasis E nach B. Allgemeine Schreibweisen: nachMatrixvon oder Matrix auch Matrixvon,nach usw... Ich bevorzuge die erste Version, weil beim Schreiben von aufeinanderfolgenden Basiswechselmatrizen deutlich wird welche Basisversionen aufeinandertreffen und ich kontrollieren kann ob die Basisvektoren auch zusammenpassen! z.B.: Eine Basiswechselmatrix von B nach B' würde dann heißen und durch zwei zusammengesetzte Abbildungsmatrizen beschrieben werden können: - von B nach E und von E nach B' - Aufsammeln der Basisvektoren =B={b1,b2,b3}, =B'={b1',b2',b3'} - und invertieren der Ziel-Basiswechselmatrix B' (1) Allgemeines Grundprinzip: Sei B={b1,b2,..,bn} Basis eines Vektorraumes in Koordinaten der Einheitsbasis und V={v1,v2,..,vn}_B Vektoren in B-Koordinaten dann stellt V die Wechselmatrix V->B dar V= bTv .
Die einer linearen Abbildung f zugeordnete Matrix A kann grundsätzlich durch Abbildung der Basisvektoren erzeugt werden. Soll f in einer anderen Basis C={c1,c2,c3} beschrieben werden, als cfc, dann müssen für die Abbildungsmatrix cAc
  • die C Basisvektoren abgebildet werden
  • die dann mit den Koordinaten der C Basis beschrieben werden
Toolbar Imageggb-Hinweis: CAS-schreibweise um ohne Gleichheitszeichen auszukommen (=0 kann unterbleiben)
  • aus den Koordinatengleichungen sammele ich die (das sind die Koordinaten der Bildvektoren entsprechend der Basis C) in einer Matrix Ao auf
  • (i te Zeile Ao * Basisvektor ) und erhalte die Matrixgleichung
  • (2) mit
Mit (2) kann auch matrizengemäß weitergerechnet werden (3) mit (1) was von rechts nach links gelesen heißt: ein Vektor wird von Basis C nach Basis E überführt, mit A abgebildet und wieder von Basis E nach Basis C konvertiert
Beispiel-Aufgabe zur Anwendung der Notation
Beispiel-Aufgabe zur Anwendung der Notation