Composizione di rotazioni
- Autore:
- giulia.riffaldi
Caso semplice
Consideriamo il caso di due rotazioni di stesso centro e angoli diversi.
Teorema 1: date due rotazioni di centro C e angoli rispettivamente α1 e α2 la loro composizione è una rotazione di centro C e angolo α1+α2
Aiutati con la costruzione per capire cosa succede.
Per dimostrare il Teorema 1 bisogna comporre le due rotazioni cioè applicare al punto la rotazione di centro C e angolo α1 e poi applicare al punto , trasformato di , la rotazione di centro C e angolo α2.
Vediamo i conti passo per passo utilizzando la notazione algebrica:
Inserendo le equazioni del primo sistema nel secondo si ha:
E utilizzando le formule trigonometriche si arriva alle seguenti equazioni:
Il sistema scritto sopra rappresenta una rotazione di centro C e angolo α1+α2.
Osserva: è possibile ottenere lo stesso risultato anche utilizzando le equazioni in forma matriciale.
Caso generale
Conideriamo ora la composizione di due rotazioni di centro diverso e angolo rispettivamente α1 e α2.
Teorema 2: date due rotazioni di centri diversi C1 e C2 e angolo α1 e α2 la loro composizione è una rotazione di centro C3 e angolo α1+α2.
Visualizziamo il risultato con la seguente costruzione:
Come abbiamo ottenuto il centro C_3?
Prendiamo due coppie di punti del tipo (punto;trasformato del punto), ad esempio nella figura abbiamo considerato (A,A") e (C,C") e per ogni coppia tracciamo l'asse del segmento che unisce i due punti.
Per definizione abbiamo che l'asse di un segmento è il luogo dei punti del piano equidistandi dagli estremi del segmento, inoltre per come abbiamo definito la rotazione dati un punto e il suo trasformato la loro distanza dal centro deve essere la stessa.
Quindi il centro della rotazione dovrà trovarsi sia sull'asse del segmento A"A sia sull'asse del segmento C"C, di conseguenza per trovarlo ci basta intersecare i due assi.
Quando C3 coincide con uno degli altri due centri C1 o C2?
Teorema 3: date due rotazioni di centri diversi e angolo α rispettivamente orientato in senso orario e in senso antiorario, la loro composizione è un traslazione
Osserva la seguente costruzione per capire meglio il risultato:
Il Teorema 3 è un caso particolare del Teorema 2 ottenuto imponendo e .