Berührorte

Författare/skapare:Walter Füchte

Stellt man sich die elliptischen Kreise eines Kreisbüschels als bewegte Wellen längs der hyperbolischen Kreise des Büschels vor, dann liegt die Frage nach der Überlagerung zweier solcher Wellenbewegungen nahe: wo berühren sich die Wellen, wo schneiden sie sich senkrecht? Da möbiusgeometrisch W-Bewegungen aus Kreisbewegungen einfach durch Drehstreckung entstehen, kann man die Frage allgemeiner formulieren:

Wo berühren sich die W-Kurven zweier W-Bewegungen?

Wir erinnern daran, dass für eine W-Bewegung

ein Berührgeradenvektor

dann und nur dann tangential an die W-Kurve ist, wenn

gilt. Die Bahnkurven zweier Infinitesimalen

berühren sich in einem Punkt, wenn eine Berührgerade

in diesem Punkt beide Bahnkurven berührt. Das ist genau dann der Fall, wenn

in diesem Punkt gilt - und zwar unabhängig von der komplexen Normierung - dh. es gilt dann

oder

für jeden Berührgeradenvektor in diesem Punkt. Wir definieren die antilineare Abbildung als HERMITEsches Produkt

und stellen fest:

ist eine HERMITEsche Abbildung, d.h. es gilt

. Fazit: Der Ort, in dem die W-Kurven der zwei W-Bewegungen

sich berühren, ist die spezielle bizirkulare Quartik

"Bizirkulare Quartik": in jedem euklidischen KOS erhalten wir für

eine Quartik der Form

"Speziell": die oben definierten Quartiken sind von einem speziellen Typ! Wir erlauben uns, diese speziellen Quartiken CASSINI-Quartiken zu nennen und begründen diese Namensgebung auf den folgenden Seiten.

Schnitt unter einem vorgegebenen Winkel

Die W-Kurven der W-Bewegung schneiden die W-Kurven von unter dem Winkel in denjenigen Punkten der Möbiusquadrik, in denen gilt.
Ein Punkt liegt genau dann auf der Quartik, wenn Pol einer der Infinitesimalen ist.

Begründung der 2. Aussage: Es gelte für einen Berührgeradenvektor

. Dies ist unabhängig von der komplexen Normierung von

. Wir können daher durch geeignete Drehung von

erreichen, dass

gilt: dh.

berührt die zu

gehörende W-Kurve. Nach Voraussetzung ist dann aber auch

. Der um

gedrehte Berührgeradenvektor

ist also tangential an die zu

gehörende W-Kurve: die beiden W-Kurven schneiden sich in dem zu

gehörenden Punkt unter dem Winkel

. Begründung der 3. Aussage: Die Gleichung

ist genau dann lösbar, wenn

ist. Die 3. Aussage läßt eine bemerkenswerte Interpretation zu: Die reell-2-dimensionalen Unterräume von

, also die reellen GERADEN (*s.u.) in

, sind die gesuchten Berühr-Orte. Aus diesem Grunde haben wir das Symbol

für das HERMITEsche Produkt zweier Vektoren aus

gewählt. Das "underline"-h steht für HERMITEsch. Die HERMITEschen Produkte

erzeugen den Vektorraum der HERMITEschen Abbildungen

von

, eine Basis ist beispielweise, ausgehend von einer euklidischen Basis in

. Der Vektorraum

der HERMITEschen Formen ist reell 9-dimensional, man vergleiche dazu auch die oben angegebene allgemeine Gleichung von bizirkularen Quartiken. Wir werden später zeigen, dass dies nicht ohne Grund dieselbe Dimension ist wie die aller quadratischen Formen (mit Spur 0) des Möbiusvektorraumes

. Kurz angedeutet: Nullstellen HERMITEscher Formen sind die Schnitte der Möbiuskugel mit einer 2.ten Quadrik! (*) Damit die Sprachverwirrung sich in Grenzen hält, kennzeichnen wir "Geraden" im Geradenraum, also 2-dimensionale Unterräume des Geradenvektorraumes mit Majuskeln: GERADEN. Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.

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