Umkehrfunktionen
Umkehrfunktionen
Einleitung
In diesem Arbeitsblatt werden die verschiedenen Möglichkeiten der Umkehrfunktionen dargestellt.
Definition Umkehrfunktion
Da bei einer eineindeutigen Funktion jedem x genau ein y und jedem y genau ein x zugeordnet wird, ist eine Umkehrung möglich. Wenn man eine Funktionsgleichung nach der unabhängigen Variablen auflöst, erhält man die Umkehrfunktion f-1 (y).
In Geogebra gibt es drei Möglichkeiten Umkehrfunktionen darzustellen:
1. Wenn man die Umkehrfunktion kennt kann man diese einfach eingeben
2. Spiegelung an der ersten Mediane
3. Verwendung des Befehls "invertiere"
Erstes Beispiel zeigt eine Exponentialfunktion, wo die Umkehrfunktion durch Spiegelung an der 1. Mediane erstellt.
Exponentialfunktion
Zusatz zu Spiegelung an 1. Mediane
Zeichnen der ersten Mediane entweder durch eine Gerade oder durch Eingabe der Funktion f(x)=x
Bei einer Änderung der Schieberegler a und c der Exponentialfunktion, passt sich die Spiegelung der Funktion entsprechend an.
Bei dem zweiten Beispiel handelt es sich um eine lineare Funktion, die Umkehrfunktion wird mithilfe des "invertiere" Befehls erstellt.
Lineare Funktion
Zusatz zu "invertiere" Befehl
Die Darstellung der Umkehrfunktion im Algebra-Fenster erfolgt durch Vertauschen der x- und y-Koordinaten.
Das dritte Beispiel zeigt eine Quadratische Funktion (D = R+). Ihre Umkehrfunktion, eine Wurzelfunktion, wurde direkt eingegeben und durch Spiegelung an der ersten Mediane zur Kontrolle zusätzlich dargestellt. Durch Ein- und Ausblenden beider kann man sehen, dass sie identisch sind.
Wichtig!
Bei Eingabe der Quadratischen Funktion f(x)=x^2 ist auf die Einschränkung des Definitionsbereiches auf R+ zu achten, um eine umkehrbare, bijektive Teilfunktion zu erhalten.
Quadratische Funktion
Zum Schluss wurden die Umkehrfunktionen von Winkelfunktionen dargestellt.