Eukleides, kniha II, věta 11
- Autor:
- Šárka Voráčová
Rozdělte danou úsečku zlatým řezem. Tato konstrukce se využívá při konstrukci rovnoramenného zlatého trojúhelníku, který je prvním krokem při Eukleidově konstrukci pětiúhelníku (kniha IV, věty 10, 11).
Anglický překlad řešení úkolu věty II.11, viz David E. Joyce: Book II, Proposition 11.
Důkaz: Obsah obdélníku CF x FA = (EB - EA) x (EB + EA) = EB2 - EA2, odtud CF x FA + AE2 = EB2. Z Pythagorovy věty EB2 = AB2 + AE2, tedy CF x FA + AE2 = AB2 + AE2 a také CF x FA = AB2 . Obdélník CKGF má stejný obsah jako čtverec ACDB a po odečtení společného obdélníka ACKH dostáváme, že mají vybarvené oblasti stejný obsah.
Úsečka AB je bodem H rozdělena na části AH a HB tak, aby součin AB.HB byl roven obsahu čtverce nad AH, tedy AB : AH = AH : HB. Jinými slovy, bod H dělí úsečku AB ve zlatém řezu.