Von der Koordinatenform in die analytische Geometrie - Unterricht mit MMS
- Autor:
- Reinhard Schmidt, GeoGebra Team
- Thema:
- Geometrie, Mathematik
Kurzinformation
- Qualifikationsphase (Q2)
- Analytische Geometrie / Lineare Algebra
- Einstieg in die Analytische Geometrie über die Koordinatenform
- Ziel:
- Dauer:
- Schüler:innenmaterial: https://www.geogebra.org/m/yxhwcktb
- Spezielle Materialien: Vier gewinnt 3D
Vorwissen und Voraussetzungen
Die SchülerInnen können...
- Punkte eingeben (Schreibweise mit Kommata zwischen den Koordinaten)
- das Koordinatensystem drehen (gedrückte Maustaste)
- Punkte in Geradengleichungen einsetzen
- unterbestimmte lineare Gleichugnssysteme lösen (2 Gleichungen mit 3 Unbekannten)
- Elementare Kenntnisse im Umgang mit Geogebra
Lernergebnisse und Kompetenzen
Kompetenzen, die durch den Materialeinsatz aufgebaut werden können:
Die SchülerInnen können...
- aus 3 Punkten eine Ebenengleichung in Koordinatenform ermitteln,
- für eine in Koordinatenform gegebenen Ebene die Lage im Koordinatensystem beschreiben,
- die Schnittgerade zweier Ebenen angeben,
- den Schnittpunkt dreier Ebenen ermitteln.
Didaktische Hinweise zur Aufgabe
Wesentliche Intention des hier vorgestellten Zugangs ist, dass die algebraische Darstellung (Ebenengleichung in Koordinatenform) und die geometrische Deutung möglichst immer parallel gedacht werden.
Ein besonderer Fokus liegt daher auf der Veranschaulichung der Problemstellungen. Gerade für den Einstieg hängt viel daran, dass die Lernenden sich die durch drei Punkte festgelegte Ebene vorstellen können. Daher ist es sehr hilfreich, ein 3D-Vier-gewinnt-Spiel "zum Anfassen" mit in den Unterricht mitzubringen. Handlsüblich sind 4x4x4-Spiele. Noch anschaulicher wird es, wenn größere "Spielfelder" (6x6x6 oder sogar 8x8x8) zur Hand sind. Das ist vielleicht eine Herausforderung für Bastler. (Alternativ kann ein solches Spiel in GeoGebra nachgebaut werden.)
Trotz der besonderen Betonung der geometrischen Repräsentation müssen die Lernenden auch in der Lage sein, mit den algebraischen Darstellungen umzugehen. Hier sind aber verschiedene Wege denkbar: Je nach Vorwissen können die linearen Gleichungssysteme händisch (z.B. mit dem Gauß-Algorithmus) oder mit digitalen HIlfsmitteln (MMS) gelöst werden.
Veränderungsvorschläge / Zusätze im Material
- Weitere Variationen in der Grundaufgabe
- Umformulierung der Aufgaben
- Erweiterung für die Starken
Aktivität 1 (15 min): Finde Punkte in derselben Ebene
Aktivität 2 (20 min): Nur Durcheinander? Mitnichten!
Aktivität 3 (10 min): Lineare Gleichungen und Ebenen
Aktivität 4 (5 min): Übung: Ermittle Ebenengleichungen
Sicherung / Hausaufgabe
Ermittle die Gleichung der Ebene durch die Punkte A(1|0|1), B(0|1|1) und C(0|4|2) und gibt drei weitere Punkte an, die auf der Ebene liegen.
Lösung: x+y-3z=-2 und z.B. D(4|0|2), E(-1|-1|0), F(-2|-3|-1)
Aktivität 5 (25 min): Gemeinsame Punkte zweier Ebenen
Aktivität 6 (15 min): Übung: Schnitt zweier Ebenen
Aktivität 7 (15 min): Schnitt dreier Ebenen
Überprüfen des Lernerfolges
Um zu überprüfen, ob die SchülerInnen die Kompetenzen auch wirklich erreicht haben, sollten nicht einfach nur "Hieb- und Stichaufgaben" verwendet werden, weil dann die hier empfohlene starke Betonung des geometrischen Aspekts intellektuell unaufrichtig erscheinen würde.
Stattdessen sollten während und nach der Unterrichtssequenz immer wieder Aufgaben angeboten werden, bei denen die Verzahnung von Geometrie und Algebra deutlich wird und ein Wechsel der Darstellungsform eingefordert wird.
Links zu Materialien und Quellen
- Riemer, Wolfgang, Schmidt, Reinhard, Leismann, Daniel (2014): Mit Visualisierungen Vektorrechnung entdecken. In: MNU 67/6 (1.9.2014), S. 362-364. Neuß - Verlag Klaus Seeberger.