Die Ebenenschar, der Parameter und der Winkel

Wie praktisch ist die Parametrisierung der Ebenenschar?

Lynn schimpft: "Mit dem Parameter

kann ich die Ebene gar nicht gut mit einem Schieberegler untersuchen! Einerseits ist des total schwierig, die Ebene parallel zur

-Ebene auszurichten, sobald man den Regler ein bisschen verschiebt, ist die Ebene sofort wieder schief! Andererseits habe ich die Maximalwerte des Schiebereglers jetzt schon auf über 1000 gestellt und ich bekomme es trotzdem nicht hin, dass die Ebene vertikal steht"!

Erkunde vor dem Hintergrund von Lynns Aussage noch einmal die Situation mit Hilfe der von Dir im ersten Teil der Aktivität erstellten GeoGebra-Datei.

Beschreibe möglichst genau, wie der Parameter die Lage von bezogen auf die -Ebene beeinflusst.
Wann haben Änderungen von besonders große/kleine Auswirkungen auf die Lage von ?
Verknüpfe die Ergebnisse Deiner Erkundung mit der Behauptung von Lynn.

Ausgangslage

Wir wollen Lynns Aussage als Ausgangspunkt für tiefere mathematischer Erkundungen nutzen. Im steht die Ebenenschar

, .

Es scheint so, dass alle zu

gehörende Ebenen zueinander um die Gerade durch

und

gedreht sind. In diesem Teil der Aktivität erkunden Sie, wie diese Drehung vom Parameter

abhängt. Starte dazu mit dem folgenden Applet, dass die Situation aus dem ersten Teil aufgreift, aber für den Moment die Pyramide außen vor lässt und auf die Ebenenschar und deren Variation fokussiert.

Von der Koordinatenform zum Normalenvektor

Bestimmen aus der angegebenen Koordinatenform von einen zugehörigen Normalenvektor . Trage den Normalenvektor zur Überprüfung auch in das zugehörige Eingabefeld im Applet ein.

Vom Normalenvektor zum Winkel

Gib einen Normalenvektor für die -Ebene an. Welche geometrische Bedeutung hat der Winkel zwischen und für die Lage von ? Begründe Deine Antwort.

Der parametrisierte Winkel

Konstruiere im obigen Applet. Beschreibe vor dem Hintergrund von Lynns Aussage möglichst genau, wie sich in Abhängkeit von verändert. Gibt es Werte die besonders auffällig sind? Kann jeden Wert annehmen? Verändert sich gleichmäßig? Erstelle aus Deinen Beobachtungen im unteren Feld eine Skizze für einen Graphen, der den Werten von die jeweilige Winkelgröße zuordnet.

Graph: α in Abhängkeit von a

Ein Term für den Winkel

Überprüfe Deine Vermutungen, indem Du zunächst einen Term für die Berechnung von in Abhängigkeit von aufstellst und diesen dann als Funktion heißen im unten stehenden Applet plottest.

Die Werte von α als Funktion

Erkläre die Korrektheit Deiner Vermutungen sowohl am Graph als auch am Term.

Antwort an Lynn:

Nachdem Du nun ein Profi für die Parametrisierung von bist: Formuliere eine Antwort an Lynn auf Grundlage Deiner mathematischen Analyse.