Divergenz des Vektorfeldes

Nun wenden wir uns den Vektorfeldern zu. Beispiele für Vektorfelder sind das elektrische Feld, das Magnetfeld oder auch Geschwindigkeitsfelder bei strömenden Fluiden. Insbesondere bei letztgenannten ist es leicht vorstellbar, dass in einem Raumgebiet von einem Fluid etwas zur Strömung hinzukommt. Man spricht dann von einer Quelle. Verschwindet in einem anderen Gebiet etwas, liegt eine Senke vor. Anhand des Applets können Sie untersuchen, ob innerhalb des durch das Quadrat gekennzeichneten Bereichs eine Quelle oder eine Senke vorliegt. Sie können das Quadrat an seinem Mittelpunkt ziehen oder mit dem Schieberegler seine Größe ändern. An den Beispielen können verschiedene Betrachtungen durchgeführt werden. Sie können aber auch eigene Vektorfelder formulieren.

Wollen wir wissen, ob sich innerhalb des eingezeichneten Quadrates eine Quelle befindet, betrachten wir seine Ränder. Zeigt an einem Rand die orthogonale Komponente des Vektors nach außen, so können wir uns darunter das Austreten eines Fluids aus dem Gebiet vorstellen. Die orthogonale Komponente genügt, denn die parallele fließt nur am Rand entlang, liefert also keinen Beitrag. Außerdem nehmen wir bei dieser Betrachtung an, dass an jedem Punkt des Randes der Vektor gleich bleibt. Den Fehler, den wir dabei machen, können wir durch die Wahl einer kürzeren Seitenlänge verringern. Auf der gegenüberliegenden Seite zeigt die dortige Orthogonalkomponente möglicherweise in das Gebiet hinein. Die Differenz der x-Werte dieser beiden Komponenten können wir als Bilanzierung auffassen. Ist die Differenz größer als null, so ist zumindest über den Abstand etwas zum Vektorfeld hinzugekommen. Anderenfalls liegt eine Abnahme vor oder in x-Richtung ist nichts hinzugekommen. die mittlere Änderung zwischen den beiden Quadratseiten beträgt dann . Dieser Term sieht wie ein Differenzenquotient aus - er ist auch einer. Auf die gleiche Weise gibt der Quotient die mittlere Änderung in y-Richtung an. Möchten wir nun wissen, ob im Gebiet insgesamt eine Änderung (Quelle oder Senke) vorliegt, addieren wir die beiden Werte. Im Applet werden die zugehörigen Werte unter Bilanzen am Quadrat angegeben. Die Differenzvektoren und den lokalen Vektor habe ich am Mittelpunkt angreifend dargestellt. Wir gehen davon aus, dass die beiden Funktionen, die das Feld beschreiben, differenzierbar sind. Dann können wir für beide Richtungen die Grenzwerte bilden. Diese sind dann gleich den partiellen Ableitungen und . Deren Summe gibt nun exakt an, ob sich genau am betrachteten Punkt ein Teil einer Quelle oder einer Senke (als negative Quelle) befindet. Sie gibt also die Quelldichte an diesem Punkt an. Diese Summe kann an jedem Punkt einen anderen Wert annehmen. Es liegt ein Skalarfeld vor. Es heißt Divergenz des Vektorfeldes. Wir schreiben kurz . Hier im Applet habe ich wegen der Übersichtlichkeit nur zweidimensionale Vektorfelder vorgesehen. Man kann die Divergenz aber leicht für Dimensionen formulieren. Außerdem ist die Summe formal als Skalarprodukt aus dem Nabla-Operator und dem Vektor zu sehen. Daher ist die allgemeine Formulierung der Divergenz

.

Verschieben Sie im Applet den Schieberegler für die Seitenlänge des Quadrates nach links. Sie werden sehen, wie sich die Bilanzen allmählich den differentiellen Größen annähern. Wir werden nun noch die im Applet vorgegebenen Beispiele betrachten. Zwei punktförmige Quellen: Genaugenommen liegen hier eine Quelle und eine Senke vor. In der Physik betrachten wir solch einen Fall beim elektrischen Feld zweier Punktladungen. Eine einzelne Ladung ist dort von einem Feld mit dem Betrag umgeben. Offensichtlich ist die Ladung die Quelle des Feldes. Am Ort der Ladung, also für , ist damit die Feldstärke nicht definiert. Auch im Applet werden Sie in der Nähe der beiden Quellpunkte bei und eigenartige Bilanzen vorfinden. Das liegt schlicht daran, dass wir mit dem Quadrat nur eine Annäherung vornehmen. Liegt also einer der beiden Punkte im Quadrat, sind die Bilanzen unbrauchbar. Angewandt auf das elektrische Feld ist das jedoch nicht schlimm, da wir im Experiment niemals mit ausdehnungslosen Ladungen hantieren. Was gilt aber im übrigen Raum. Dort befindet sich keine Ladung, also keine Quelle. Die Divergenz muss dort also null sein. Überlegen wir also, wie die vektorielle Beschreibung des Feldes einer einzelnen Ladung aussehen muss, Damit sie der Bedingung genügt. Nun stoßen wir auf die Schwierigkeit, dass elektrische Felder den dreidimensionalen Raum ausfüllen, das Applet aber nur zweidimensional dargestellt ist. Beiden gemein ist jedoch, dass das Feld radial um die Ladung existiert. Setzen wir die Ladung in den Ursprung, dann zeigt der Feldvektor immer in die Richtung der Koordinaten. Zudem ändert sich der Betrag in geeigneter Form mit dem Abstand zum Ursprung. Wir "bauen" uns daraus das Feld . Im Applet ist dann einfach und in der Physik . Nun bestimmen wir den Parameter k so, dass die Divergenz null ist. Die i-te partielle Ableitung ist . Die Divergenz ist die Summe all dieser Summanden, also . Sie ist dann null, wenn ist. Wir erhalten damit für das Applet mit die Formel und mit für den Raum . Die elektrische Feldstärke ist damit passend . Für das Applet habe ich eine Quelle aus dem Ursprung heraus um 1 nach links und eine Senke um 1 nach rechts verschoben. Das daraus gebildete Gesamtfeld ist die Vektorsumme der beiden Teilfelder. Für Quadrate abseits der beiden Quellen zeigt sich, dass die Divergenz für die übrige Ebene erwartungsgemäß null ist. Die homogene Quelldichte Bei diesem Beispiel stellen wir uns vor, dass die Quelldichte, also die Divergenz, an jedem Ort den gleichen Wert hat. Das Feld ist ein Beispiel dafür, denn . Kann man sich solch ein Feld im Raum vorstellen? Eine Kugel mit dem Radius könnte elektrisch so geladen sein, dass sich ihre Ladung Q gleichmäßig über das gesamte Volumen verteilt. Die Ladungsdichte wäre also überall in der Kugel . Das Feld hat die Divergenz . Es ist also passend formuliert. Sein Betrag ist . Außerhalb der Kugel, also für messen wir die Feldstärke . Zusammengefasst sollte für den Betrag der Feldstärke gelten. An der Stelle darf keine Unstetigkeit vorliegen. Es ist allerdings . Damit ist die Feldstärke bei stetig. Also ist sie im Zentrum der Kugel null, wächst bis zu ihrem Radius proportional zur Entfernung an und nimmt dann als Coulomb-Feld wieder ab. Das konstante Strömungsfeld Mit habe ich ein Feld gewählt, dessen Vektoren an jeder Stelle konstant sind. Damit sind die beiden partiellen Ableitungen null und damit ist auch überall die Divergenz null. Man kann sich hierunter eine Strömung mit überall konstanter Geschwindigkeit vorstellen. Dort muss das Fluid, das in ein Gebiet einfließt, auch vollständig wieder ausfließen. Genau das wird mit beschrieben. Die nach außen abnehmende Divergenz Die bisherigen Beispiele sind mehr oder weniger Spezialfälle, bei denen man das koordinatenweise Bilden der Ableitungen auch weglassen könnte oder bei denen die Divergenz null ist. Bei diesem letzten Beispiel habe ich mir weniger eine physikalische Entsprechung vorgestellt. Es soll lediglich dazu dienen, die Überlegungen auch für ein Feld ohne wesentliche Besonderheiten durchzuführen.