V.2. Details zu Kapitel IV.2.
Im Kapitel IV.2. (vom Quadrat zum Fünfeck) sind die Konstruktionen zweier Strecken beschrieben und ihre ungefähren Längen genannt. Die erste ist die Teilstrecke , wobei die die Länge der Diagonalen und die Seitenlänge des regelmäßigen Fünfecks ist. Die zweite Strecke ist die Seitenlänge , mit der hier begonnen wird.
Zunächst wird die Formel für den Flächeninhalt des regelmäßigen Fünfecks hergeleitet:
Jede Diagonale (Länge ) wird durch den Schnittpunkt mit einer anderen Diagonale in zwei Teilstrecken zerlegt, deren eine Länge mit der Seitenlänge übereinstimmt und deren andere Länge hier mit bezeichnet ist. Weil jede Diagonale an ihren Enden einen Innenwinkel von 108° in Winkel mit 72° und 36° aufteilt, sind die symmetrischen Dreiecke und ähnlich. Daher gilt . Die positive Lösung dieser Gleichung für ist .
Bei einer solchen Aufteilung, bei der das Verhältnis von Gesamtstrecke zur längeren Teilstrecke mit dem Verhältnis von längerer zu kürzerer Teilstrecke übereinstimmt, spricht man vom Goldenen Schnitt. Wegen dieser Aufteilung gilt auch , umgekehrt gilt
.
Nach dem Strahlensatz ist auch die Höhe des Fünfecks im Goldenen Schnitt aufgeteilt: .
Folglich gilt . lässt sich aus dem Dreieck berechnen:
.
Der Fläche des Fünfecks setzt sich aus dem Trapez und dem Dreieck zusammen, daher gilt für den Flächeninhalt
Für das flächengleiche Quadrat mit der Seitenlänge gilt . Für die Konstruktion von aus der Quadratseite muss die letzte Gleichung nach aufgelöst werden:
Für die bei der Konstruktion benötigte Strecke gilt: