Sección 1.2 - Teorema de Ceva (Ejercicios)
Ejercicio 1
Si X, Y, Z son los puntos medios de los lados, las tres cevianas son concurrentes.
Respuesta: Sea △ABC con puntos medios X, Y, & Z la siguiente figura
Las tres cevianas solo serán concurrentes si:
Como X, Y, & Z son los puntos medios, entonces , , y . Por lo tanto,
Por lo tanto, las tres cevianas desde los vértices a los puntos medios de cada lado son concurrentes.
Ejercicio 2
Las cevianas perpendiculares a sus lados opuestos son concurrentes.
Respuesta: Observemos la siguiente figura
Consideremos △ABX y △AXC. Ambos tienen a AX como su altura, por lo que sus áreas son proporcionales a sus bases. Por lo tanto,
Similarmente con △PBX y △PXC tienen la altura PX en común. Por lo tanto,
Observamos que & y llegamos a
(i)
Semejantemente, tenemos que (ii) y (iii).
Al multiplicar (i), (ii) y (iii) obtenemos:
Por el converso del Teorema de Ceva, las álturas son concurrentes.
Ejercicio 3
Sean y dos triángulos no congruentes, donde sus lados sean respectivamente paralelos, como en la siguiente figura. Entonces, las tres lineas , & (extendida) son concurrentes.
Respuesta: Volvamos a ver la misma figura pero con segmentos auxiliares y ángulos congruentes (los cuales lo son por rectas paralelas cortadas por una transversal)
Sea O el punto en donde y se intersecan. Sea el punto en donde y se intersecan.
Notamos que por AA, ya que sus ángulos respectivos son paralelos. Entonces,
lo que implica que .
Por lo tanto, y se intersecan en y entonces es concurrente a y
Ejercicio 4
Sea una ceviana de largo , dividiendo en los segmentos y como en la siguiente figura. Entonces,
Respuesta: Observemos la misma figura con elementos auxiliares para la prueba:
Sea .
Consideremos la Ley de Cosenos en en . Entonces:
(i)
Considerando la Ley de Cosenos en en , obtenemos:
(ii)
Utilizando y que en (i), obtenemos:
(iii)
Al multiplicar (ii) por m y (iii) por n, se obtiene:
(iv)
(v)
Al sumar (iv) y (v), conseguimos que:
Simplificando, obtenemos:
Por lo tanto,