Lagebezihungen 3-dimensionaler Geraden
Lagebeziehunden im 3-dimensionalen
Genau so, wie 2-dimensionale Geraden identisch, parallel und sich schneiden können, können auch Geraden im 3-dimensionalen Raum zueinander identisch oder parallel liegen oder sie schneiden sich. Es gibt jedoch noch einen zusätzlichen 4. Fall: Wenn die Geraden in unterschiedliche Richtungen verlaufen, sich jedoch nicht schneiden, weil die eine Gerade weiter vorne als die andere verläuft, nennt man diese Lagebeziehung windschief.
Auf die Richtung kommt es an
Doch wie kann man diese 4 Lagebeziehungen nun unterscheiden?
Dafür teilen wir die 4 Lagebeziehungen in 2 Fälle ein:
Fall 1: Die beiden Geraden verlaufen in die gleiche Richtung.
Fall 2: Die beiden Geraden verlaufen unterschiedliche Richtungen.
Zum Fall 1 gehören identische und parallele Geraden. Sie laufen beide in die gleiche Richtung, haben also den gleichen oder kollineare Richtungsvektoren.
Zum Fall 2 gehören sich schneidende und windschiefe Geraden. Sie verlaufen in unterschiedliche Richtungen. Ihre Richtungsvektoren sind nicht kollinear.
Wenn wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden also auf Kollinearität überprüfen, können wir anschließend immer die 2 Fälle ausschließen, die nicht zu unserem Ergebnis passen.
gemeinsame Punkte
Und wie kann man identische von parallele Geraden bzw. sich schneidende von windschiefen Geraden unterscheiden?
Dafür untersuchen wir, ob die Geraden einen gemeinsamen Punkt miteinander haben:
Fall 1 (identische / parallele Geraden)
- 2 identische Geraden haben unendlich viele gemeinsame Punkte, weil jeder Punkt auf der einen Gerade gleichzeitig auch auf der anderen Gerade liegt.
- 2 zueinander parallele Geraden haben keinen Gemeinsamen Punkt miteinander.
- Wenn sich 2 Geraden schneiden, haben sie einen gemeinsamen Punkt miteinander. Den Schnittpunkt. Er befindet sich sowohl auf der einen, als auch auf der anderen Gerade.
- Wenn 2 Geraden zueinander windschief verlaufen, haben sie keinen gemeinsamen Punkt.
schlau kombiniert
Kombinieren wir diese beiden Eigenschaften (Kollinearität und gemeinsamer Punkt) nun miteinander, so hat jede Lagebeziehung ihre eigene Kombination der Eigenschaften:
- identische Geraden sind kollinear und haben gemeinsame Punkte.
- parallele Geraden sind kollinear, haben aber keine gemeinsamen Punkte.
- sich schneidende Geraden sind nicht kollinear, haben aber einen gemeinsamen Punkt.
- windschiefe geraden sind nicht kollinear und haben keinen Gemeinsamen Punkt.