Ley de Benford aplicada a los habitantes de los pueblos de Castilla La Mancha.

Autor:: Rafael Pérez Laserna

¿Qué es la Ley de Benford?

La Ley de Benford es una ley matemática que nos calcula la probabilidad de que un número empiece por una determinada cifra numérica. Los números que vamos a utilizar en esta actividad no son obtenidos por el azar, como por ejemplo en el lanzamiento de un dado o los boletos de la lotería, por que esos números todos tienen la misma probabilidad. Tampoco pueden estar restringidos a un intervalo, como por ejemplo los dedos de nuestras manos, que siempre serían 5 o los números de teléfono, que en España siempre empiezan por 9 ó 6, o las matrículas de los coches que están restringidas entre el 0 y el 9999. Los números que cumplen la Ley de Benford, son los que nos podemos encontrar en los precios de la compra en el supermercado, en la longitudes de los ríos, en los habitantes de los pueblos, en la superficie de las provincias, en los números que aparecen en el periódico. La Ley de Benford nos dice que la probabilidad de que un número empiece por una determinada cifra "n", se calcula como: P(n) = log (n+1)- log (n)

2. Un poco de historia.

El matemático y astrónomo Simon Newcomb en 1881, se dio cuenta que en los libros de logaritmos, entonces no había calculadoras, las primeras páginas estaban más gastadas que las últimas. Esto significaba que las personas calculaban más logaritmos de números que empezaban por 1, 2 ó 3 que los que empezaban por 7, 8 ó 9. Ésto le llevó a encontrar una relación matemática para calcular la probabilidad de que un número empezara por una cifra determinada, pero no lo terminó de fundamentar. En 1938 el ingeniero Frank Benford se dio cuenta del mismo detalle pero esta vez si lo fundamentó con datos estadísticos de muestras tomadas de diferentes ámbitos, entre ellas estuvieron incluso magnitudes físicas o químicas. Comprobó que esta ley se cumplía en diferentes circunstancias y la llamó "Ley de los números anómalos". Esta ley no hubiera sido más que una curiosidad si no hubiera sido por que en 1992 un economista llamado Mark Nigrini afirmó que en su tesis doctoral que esta ley se debía cumplir en la contabilidad de las empresas. Así que si la contabilidad de una empresa no cumple la Ley de Benford, es por que posiblemente estén cometiendo un fraude fiscal. Actualmente se ha visto que también se puede aplicar a los votos obtenidos en las elecciones. Si estos no cumplen la ley de Benford, es por que hay fraude electoral. Despues de lo leído la Ley de Benford no es solo una curiosidad. Es una excelente manera de detectar el fraude. Aquí puedes ver un vídeo del youtuber y doctor en matemáticas Derivando que explica mejor esta ley.

Ley de Benford explicada por Derivando.

3. Actividad. Los puedlos de Castilla La Mancha.

Vamos a comprobar si el número de habitantes de los distintos pueblos de Castlla la Mancha cumplen la Ley de Benford. Para ello seguiremos los siguientes pasos: 1. Visitamos la web del Instituto Nacional de Estadística (https://www.ine.es/). 2. Buscamos los datos del censo de población de todos los pueblos de cada una de las provincias de Castilla La Mancha. 3. Con ayuda de GeoGebra creamos en la hoja de cálculo las columnas adecuadas para saber los habitantes de cada población y sacar la primera cifra por la que empieza dicho número. 4. Contamos cuantos empiezan por 1, por 2, por 3 y así hasta 9. 5. Calculamos la frecuencia relativa que tendría cada valor. Por ejemplo, dividimos la frecuencia absoluta de aquellos cuya primera cifra sea 1 y lo dividimos por el total de pueblos de esa provincia. 6. Hacer una gráfica para cada provincia, donde la X serían las cifras del 1 al 9 y la Y serçia la frecuencia relativa de cada cifra. Tendremos que hacer 5 gráficas para las provincias y otra para el total de la comunidad. Todas las gráficas las haremos en la misma ventana de GeoGebra y con casillas de verificación para poderlas mostrar a voluntad. 7. Hacer una última gráfica para la Ley de Benford. 8. Comprobar las distintas gráficas y ver que provincias se ajustan mejor a dicha ley, así como comparar los datos de toda la Comunidad con la Ley. ¿El número de datos influye en que se ajusten mejor a dicha ley?

4. Resolución.

Se realizan todas los pasos que aparecen en la actividad y despues de organizados, tenemos la siguiente actividad de GeoGebra.

Los habitantes de los pueblos de Castilla La Mancha y la Ley de Benford.

En la actividad de GeoGebra, vemos que las columnas rojas son los números que corresponden a la Ley de Benford. Pulsando las casillas de verificación de cada provincia, observaremos que la Ley de Benford se ajusta bastante bien a los datos de Castilla La Mancha. Aunque hay algunas provincias que se ajustan mejor que otras, en general se observa que los números que empiezan por 1 son muchos más que los demás y así consecutivamente con todos. Éste es un claro ejemplo de que los datos de Castilla La Mancha están estudiados correctamente. Si los datos de los habitantes no se ajustaran a la ley, diríamos que el estudio no estaría bien hecho.