Das Kreuzprodukt in der Physik

Im vorigen Abschnitt haben wir ein Beispiel für die Anwendung des Skalarproduktes in der Physik kennengelernt. Mit dem Drehmoment betrachten wir nun ein Beispiel, das sich durch ein Kreuzprodukt beschreiben lässt. Im Applet ist das zentrale Objekt eine Spiralfeder. Diese hat die Eigenschaft, dass die an ihrem Ende angreifende Kraft zu einer Auslenkung führt, die sich durch den Winkel beschreiben lässt. Sie können im Applet mithilfe der Schieberegler die Entfernung des Angriffspunktes zum Drehpunkt sowie das Rückstellmoment (die Federhärte) einstellen. Durch Ziehen am Ende des Kraftpfeils ändern Sie die wirkende Kraft in Betrag und Richtung und daraus folgend die Auslenkung der Feder. Anmerkung: In der Darstellung habe ich die Beziehungen zwischen den wesentlichen Größen so gewählt, wie sie sich im Realexperiment auch verhalten würden. Zur Bestätigung wäre daher das Nachvollziehen anhand eines realen Aufbaus sinnvoll.

Aus der Schulmathematik ist (vielleicht) das Kreuzprodukt als ein Vektor bekannt, der orthogonal zu beiden Ausgangsvektoren zeigt, sofern diese verschieden vom Nullvektor und nicht kollinear zueinander sind. Die Koordinaten des Kreuzprodukts lassen sich mit berechnen. Zudem gilt . Man kann leicht zeigen, dass sich aus der Betragsgleichung die Bestimmungsgleichungen für die Koordinaten ableiten lassen. Der Leser möge bei Vergnügen die entsprechenden Umformungen durchführen. Als Ansatz kann die Betragsgleichung mithilfe des trigonometrischen Pythagoras durch die Beziehung auf das Skalarprodukt zurückgeführt werden. Das Drehmoment als Kreuzprodukt: Setzen Sie das Applet zurück. Ziehen Sie die Spitze des Kraftpfeils und beobachten den Betrag der Tangentialkomponente und den Auslenkungswinkel . Beide sind proportional zueinander. Es gilt

.

Nun ändern Sie das Rückstellmoment und behalten den Auslenkungswinkel immer gleich (z.B. bei 90°). Sie werden feststellen, dass

gilt. Im letzten Schritt halten Sie wieder den Auslenkungswinkel konstant und variieren den Radius . Wegen des Hebelgesetzes vermuten wir, dass sich jetzt der Zusammenhang

ergeben wird. Da sich das Rückstellmoment der Feder auf die Tangentialkomponente der Rückstellkraft bezieht, können wir ohne Proportionalitätsfaktor direkt

schreiben. Mit dem eben erwähnten Hebelgesetz erhalten wir durch Multiplikation mir r die Gleichung , die auf der linken Seite das Produkt aus Armlänge und Kraft und auf der rechten eine Größe enthält, die das Rückstellverhalten der Feder beschreibt. Diese Größe heißt Drehmoment . Wir können die Kraft in eine beliebige Richtung wirken lassen. Die Tangentialkomponente davon hat den Betrag . Damit ist der Betrag des Drehmoments

.

Die rechte Seite hat genau die Form des Betrags eines Kreuzproduktes. Wir überlegen daher, ob es eine Richtung gibt, die wir sinnvoll als Richtung des Drehmoments betrachten können. In der Grafik unten rechts im Applet habe ich den Radius-Vektor an den Angriffspunkt der Kraft verschoben. Der Vektor zeigt hier orthogonal sowohl zum Radius als auch zur Kraft. Er ist damit ein Normalenvektor der Ebene, in der der vom Angriffspunkt beschriebene Kreis liegt. Seine Länge kennzeichnet den Betrag des Drehmoments. Zudem ist das System aus , und rechtsorientiert. Damit kann das Drehmoment tatsächlich auch als eine gerichtete Größe aufgefasst werden. Wir können als umfassende Definitionsgleichung kurz

schreiben. Das Drehmoment entspricht bezüglich der Rotationsbewegung der Kraft bei translatorischen Bewegungen. Es hat bei Verformungen, z.B. der Feder, ein entgegengesetztes Drehmoment oder führt zu einer Änderung der Winkelgeschwindigkeit. Das Drehmoment diente uns hier nur als Beispiel. Das Kreuzprodukt wird wie auch das Skalarprodukt in der Physik recht häufig verwendet.