Prismas e suas Particularidades

Você conhece as propriedades dos primas? Propriedades como, nomes, formas, calculo de área e volumes?

Definição

Um prisma é um poliedro formado por duas bases congruentes e paralelas, ligadas por faces laterais que são paralelogramos. Ele possui elementos como bases, altura, vértices, arestas e faces laterais.

A altura corresponde à distância entre as duas bases.

O nome do prisma depende da forma da base:

Base triangular → prisma triangular Base pentagonal → prisma pentagonal E assim por diante, conforme o polígono da base.

Abaixo temos alguns exemplos de prismas.

Tipos de prismas (segundo a base)

O nome do prisma depende do polígono que forma suas bases:

Prisma triangular → base em triângulo.
Prisma quadrangular → base em quadrado ou retângulo.
Prisma pentagonal → base em pentágono.
Prisma hexagonal → base em hexágono.
Prisma octogonal → base em octógono.

Abaixo, temos o gráfico de um prisma, que através dos controles deslizantes, podemos formar alguns tipos de primas conforme a sua base.

Classificação dos prismas

Prisma reto: as arestas laterais são perpendiculares às bases, e as faces laterais são retângulos. Prisma oblíquo: as arestas laterais não são perpendiculares às bases, e as faces laterais são paralelogramos inclinados. Veja os exemplos abaixo.

Prisma regular e irregular

Um prisma pode ser classificado em regular ou irregular, dependendo da forma de suas bases e da simetria das faces laterais: Prisma Regular:

As bases são polígonos regulares (todos os lados e ângulos iguais).
As faces laterais são paralelogramos congruentes, geralmente retângulos no caso de prismas retos.
Exemplo: prisma triangular regular (base em triângulo equilátero).

Prisma Irregular:

As bases são polígonos irregulares (lados e ângulos diferentes).
As faces laterais não são todas iguais, podendo variar em forma e tamanho.
Exemplo: prisma pentagonal irregular (base em pentágono com lados desiguais).

Abaixo, na janela de visualização em 3d, ao manipularmos os sólidos triangulares, podemos reparar essas diferenças.

Fórmulas do Prisma

Áreas do Prisma:

Em um prisma podemos destacar as seguintes superfícies:

Superfície lateral (A): corresponde à reunião das faces laterais do prisma, sua área é chamada de área lateral. São determinadas pelas áreas dos retângulos ou paralelogramos.

Área da base (A): corresponde à área do polígono que compõe cada base do prisma. Superfície total (A): corresponde à reunião da superfície lateral e das bases do prisma. Portanto,

= 2.A

Volume do Prisma: Considere um bloco retangular que apresente medidas iguais a 5 uc, 3 uc e 4 uc (ucsignifica unidade de comprimento). Definimos como unidade de volume, um cubo de aresta com medida igual a 1 uc. Podemos considerar 1 cm, 1 m, 1km etc., tudo depende da medida mais adequada, para determinada situação.

No nosso bloco retangular conseguimos alocar um total de 60 unidades de volume: 5 unidades no sentido do comprimento, 3 unidades no sentido da largura e 4 unidades no sentido da altura. Observe que essas quantidades coincidem exatamente com as medidas das arestas do bloco retangular. Multiplicando essas quantidades obtemos 60. Então podemos dizer que o volume do bloco retangular de medidas de comprimento a, largura b e altura h, é igual a

O processo acima nos mostra como determinar o volume de um tipo de prisma, que é o bloco retangular.

Mas, a questão é: como determinar o volume de um prisma qualquer? A busca por essa resposta nos leva ao ano de 1635, ao encontro do matemático italiano Bonaventura Cavalieri, e o que conhecemos hoje por Princípio de Cavalieri. Intuitivamente, podemos pensar da seguinte forma: suponha que você tenha uma pilha de chapas retangulares, que pode ser uma pilha de livros ou uma pilha de folhas, todas de mesmas dimensões, portanto, apresentam o mesmo volume. A partir dessas pilhas, podemos representar alguns sólidos, como mostrados na figura abaixo:

Nos três casos, o espaço ocupado pela pilha é o mesmo, ou seja, os três sólido possuem o mesmo volume, apesar de suas diferentes disposições e, consequentemente, formas distintas. Isso pode ser explicado pelo Princípio de Cavalieri, que afirma o seguinte: Dois sólidos de mesma altura, apoiados sobre um plano α, têm volumes iguais se todo plano paralelo a α intersectar os sólidos, determinando regiões de áreas iguais.

Mas como isso nos ajuda a determinar o volume de um prisma qualquer?
Considere um paralelepípedo reto-retângulo e um prisma qualquer, ambos de mesma altura e bases com mesma medida de área. Qualquer corte paralelo à base determina, nos dois prismas, duas regiões de mesma área. Portanto, os volumes dos dois prismas são iguais.

Assim, para calcular o volume de um prisma, basta fazer o produto entre a área de sua base e sua altura:

Veja abaixo com o professor Paulo Pereira do canal Equaciona como se faz o cálculo de área e volume dos Prismas.

Como calcular o volume e área de um prisma hexagonal e triangular?

Já vimos anteriormente como calcular a áreas e volumes de um prisma reto retângulo, e agora em um prisma regular, no qual a base é um triângulo equilátero, com lado medindo 3 m e sua altura medindo 6 m, podemos calcular sua área total da seguinte maneira.

Prisma Triangular

Dado que sua base é um triângulo equilátero com o lado medindo 3 m, sabemos que o seu perímetro mede 3x3=9 e dado que a altura do prisma é 6 m, logo, a área lateral mede: Para calcular a área de um triângulo equilátero, lembre-se de usar a fórmula: Assim, área da base mede: Sabendo a área lateral e a área da base, vamos calcular a área total do prisma: Agora que sabemos como calcular suas áreas, podemos encontrar o volume desse prisma usando a fórmula que já aprendemos anteriormente.

Hexágono

Para calcular a área da base de um hexágono, utilizamos a seguinte fórmula:

Sendo 4 cm o lado do hexágono, temos:

Agora que já sabemos o valor da área da base, para encontrar o volume, basta multiplicar pela altura, que é 10 cm. Assim:

Porém, podemos usar outra fórmula de volume que é: