Einführung logistisches Wachstum
Erkundung und Vergleich verschiedener Wachstumsmodelle
In dem folgenden Graphen kannst du drei verschiedene Wachstumsmodelle visuell untersuchen: das exponentielle Wachstum (schwarz), das beschränkte Wachstum (grün) und das logistische Wachstum (blau). Das exponentielle und das beschränkte Wachstum sind dir bereits bekannt – das logistische Wachstum lernen wir heute und in den kommenden Stunden neu kennen. Aktiviere die Häkchen, um die jeweiligen Wachstumsfunktionen im Graphen sichtbar zu machen. So kannst du die Verläufe direkt miteinander vergleichen. Mithilfe der drei Schieberegler kannst du die Anfangsgröße N0, den Änderungsfaktor a und die Sättigungsgrenze G verändern. Die rote gestrichelte Linie zeigt dir dabei die eingestellte Sättigungsgrenze im Graphen an. Aufgabe: Mach dich zunächst kurz mit der Bedienung des Applets vertraut und bearbeite anschließend die Aufgaben, die sich unter dem Graphen befinden. Ziel dieser Erkundung ist es, die Form und das Verhalten der verschiedenen Wachstumsmodelle zu beschreiben und Unterschiede sowie Gemeinsamkeiten zu erkennen – insbesondere im Hinblick auf das neu eingeführte logistische Wachstum.
Wachstumsmodelle im Vergleich
Teil A: Beobachtungen zum Funktionsverlauf
a) Verändere den Parameter a. Beschreibe, wie sich der Graph verändert.
b) Was passiert, wenn du a=1 einstellst? Was bedeutet das inhaltlich?
c) Was fällt dir auf, wenn du N0=0 wählst?
a) Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede erkennst du im Vergleich zum exponentiellen Wachstum?
b) Wie wirkt sich die Sättigungsgrenze G auf den Graphen aus?
a) Beschreibe, wie sich der Verlauf der Funktion von den beiden anderen unterscheidet.
b) Was fällt dir im Bereich zu Beginn, in der Mitte und gegen Ende der Entwicklung auf?
Teil B: Vergleichende Analyse
a) Finde eine Parametereinstellung, bei der sich alle drei Modelle zunächst (im Bereich zu Beginn) sehr ähnlich verhalten und notiere deine Parameter.
b) Was unterscheidet das logistische Wachstum dann im weiteren Verlauf?
c) Beschreibe für alle drei Modelle, wie schnell die Werte zu Beginn, in der Mitte und am Ende des Zeitraums wachsen.
a) In welchem Modell nimmt das Wachstum dauerhaft zu?
b) In welchem Modell verlangsamt sich das Wachstum deutlich, bevor es (nahezu) endet?
c) In welchem Modell gibt es einen „Wendepunkt“?
Teil C: Reflexion
Formuliere mit eigenen Worten eine „Definition“ für das logistische Wachstum. Was unterscheidet es funktional vom exponentiellen und beschränkten Wachstum?
Erkläre die Rolle der Sättigungsgrenze beim logistischen und beim beschränkten Wachstum.
In welchen realen Situationen könnte das logistische Wachstum eine passende Beschreibung sein? Überlege, in welchen Kontexten ein Wachstum zunächst stark beginnt, dann aber langsamer wird und sich schließlich einer Grenze annähert.
Notiere mindestens zwei Beispiele aus Alltag, Natur, Technik oder Gesellschaft, in denen du dir vorstellen kannst, dass ein logistisches Modell sinnvoll ist.
Begründe jeweils kurz, warum du das so einschätzt.