9 - Bissetriz com vértice desconhecido
Problema
Trace a bissetriz de duas retas concorrentes no plano, com vértice desconhecido.
Solução
1. Sejam as retas concorrentes e .
2. Seja uma reta transversal à e e os pontos e interseções de com e , respectivamente.
3. Traçamos dois círculos de raio e centros e , marcando suas interseções com as retas.
4. A partir dos pontos marcados, encontramos as bissetrizes de todos os ângulos formados pelo encontro da reta com e usando também círculos de raio (passos explicados na atividade anterior).
5. Marcamos os pontos e , as interseções dessas bissetrizes localizadas na parte interna das retas e .
6. Ao ligar e , encontramos a reta , bissetriz do ângulo formado por e .
Justificativa Matemática
Considerando o ponto desconhecido de interseção das retas e , vamos analisar o triângulo .
Sendo o ponto de encontro de duas das três bissetrizes de , temos que é o incentro de , sendo assim é bissetriz de também.
Se , e forem colineares, a reta encontrada será a bissetriz do ângulo formado pelo encontro das retas e , logo, basta provarmos que para concluir a justificativa.
Seja o ponto de interseção da bissetriz do ângulo com a reta .
Seja o ponto de interseção da bissetriz do ângulo com a reta .
Como , e são colineares, temos que .
Por serem opostos pelo vértice temos que .
Calculando o ângulo , obtemos:
Concluímos que como , os pontos , e são colineares, fazendo com que a reta seja bissetriz do ângulo formado por e .