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M1.I.3 AB Näherung der momentanen Geschwindigkeit

Autor:MaTeGnu
In diesem Arbeitsblatt nähern Sie die momentane Geschwindigkeit des Gepards zu einem Zeitpunkt x0 durch die Berechnung verschiedener mittlerer Geschwindigkeiten um den Zeitpunkt x0 herum an. Sie benötigen die Arbeitsblatt-Ergänzung: M1.I.3 ABE Näherung momentane Geschwindigkeit
Nutzen Sie zur Berechnung das Applet Näherung Gepard unten. Schritt 1: Klicken Sie das Kästchen Berechnung der mittleren Geschwindigkeit an und stellen Sie mit dem roten Schieberegler den Zeitpunkt x0 ein, zu dem Sie die momentane Geschwindigkeit annähern wollen (z.B. ). Schritt 2: Wenn x und x0 ungleich sind, erscheint unter den Schiebereglern der Quotient aus Wegänderung und Zeitänderung zur Berechnung der mittleren Geschwindigkeit im Zeitraum [x; x0] (für x<x0 bzw. [x0; x] für x>x0). Wählen Sie mit dem grünen Schieberegler eine Zeit x, um die mittlere Geschwindigkeit zu berechnen.

Aufgabe 1

Begründen Sie, warum es sinnvoll ist, dass der Quotient zur Berechnung der mittleren Geschwindigkeit nur erscheint, wenn x ungleich x0 ist.

M1.I.3 App Näherung Gepard

|| Bedienungshinweise zum Applet || Mit dem grünen Schieberegler lässt sich die Zeit x einstellen. || Mit dem roten Schieberegler lässt sich der ZeitPUNKT x0 einstellen, zu dem Sie || die momentane Geschwindgkeit annähern möchten. || Bei f(x) können Sie den insgesamt zurückgelegten Weg (zur Zeit x) ablesen. || || Setzen Sie ein Häkchen bei Berechnung der mittleren ..., so erscheint der Differenzenquotient. || Der Differenzenquotient verschwindet wenn die ZeitPUNKTE x und x0 gleich sind! - Warum? || Im Zähler des Differenzenquotienten steht ein Eingabefeld für den zurückgelegten Weg f(x). || In GeoGebra müssen Sie Dezimalzahlen mit Punkt statt Komma eingeben und die Eingabe || mit Enter (Return) abschließen. || Sobald Sie den Wert korrekt eingegeben haben, verschwindet das Eingabefeld || und die mittlere Geschwindigkeit wird berechnet. || || Setzen Sie ein Häkchen bei Genauigkeit einstellen, so erscheint ein neuer Schieberegler, mit || dem Sie die zeitliche Auflösung der Bewegung des Gepards in der Simulation einstellen können. || Klick oben rechts im Applet auf , setzt das Applet auf seinen Ausgangszustand zurück. || Klick unten rechts im Applet auf , stellt das Applet im Vollbild dar.
Schritt 3: Lesen Sie den zurückgelegten Weg f(x) (zum Zeitpunkt x) in der Animation mit dem Gepard ab und geben Sie den Wert im Zähler des Quotienten zur Berechnung der mittleren Geschwindigkeit ein. Hinweise: In GeoGebra müssen Sie Dezimalzahlen mit Punkt statt Komma eingeben. Bestätigen Sie die Eingabe mit Enter (Return). Sobald Sie den Wert korrekt eingegeben haben, verschwindet das Eingabefeld und die mittlere Geschwindigkeit wird berechnet.

Aufgabe 2

Bestimmen Sie mit den oben angegebenen Schritten eine obere und eine untere Näherung für die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x0. Notieren Sie den Zeitraum, den Quotienten zur Berechnung und das Ergebnis für die mittlere Geschwindigkeit in der Tabelle auf der Arbeitsblatt-Ergänzung (Downloadlink oben).

Aufgabe 3

Verbessern Sie nun Ihre Näherung. Erhöhen Sie dazu die Genauigkeit der Zeit in der Animation:

  1. Setzen Sie ein Häkchen bei Genauigkeit einstellen. Ein weiterer Schieberegler erscheint.
  2. Erhöhen Sie die Genauigkeit mit dem neuen grauen Schieberegler um eine Stelle.
  3. Wählen Sie nun mit dem grünen Schieberegler eine Zeit x, die näher am Zeitpunkt x0 liegt.
  4. Geben Sie den zurückgelegten Weg f(x) (zur Zeit x) im Zähler des Quotienten für die mittlere Geschwindigkeit ein und lesen Sie das Ergebnis ab.
Erhöhen Sie schrittweise die Genauigkeit. Notieren Sie jedes Mal den Zeitraum, den Quotienten zur Berechnung und das Ergebnis für die mittlere Geschwindigkeit in der Tabelle. Welchen Wert vermuten Sie für die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x0?

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